Calcule a integral de superfície: é a superfície

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de superfície , onde a superfície é dada por , com e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para uma superfície dada por , a integral de superfície de uma função é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Substituindo as derivadas na expressão da integral de superfície:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
Onde é a região , .

Passo 6

Para resolver a integral dupla, podemos integrar em relação a e :
Vamos primeiro integrar em relação a :
Fazendo a substituição , então e os limites de integração para ficam de a .
Agora, integramos em relação a :
Essa integral pode ser resolvida por substituição ou métodos numéricos, mas para simplificar, vamos considerar a expressão simbólica.

Resposta

A integral de superfície é igual a:
Para obter um valor numérico exato, seria necessário calcular essa integral final, possivelmente utilizando métodos de integração mais avançados ou ferramentas computacionais.

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