Calcule a integral de linha em que é a curva dada. é a fronteira do triângulo de vértices e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral , onde é a fronteira de um triângulo com vértices em , e . Vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha, e entender como parametrizar cada lado do triângulo para facilitar nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo no plano. Ele tem três lados:
De a
De a
De a
Precisamos calcular a integral para cada um desses lados e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos começar pelo primeiro lado, de a .
Parametrização:
Nesse trecho, e varia de 0 a 1. Podemos definir:
Cálculo de :
Como é constante, .
Integral:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo lado, de a .
Parametrização:
Aqui, e variam simultaneamente. Podemos definir:
Cálculo de :
Calculamos as derivadas:
Então,
Integral:
Passo 5
Por fim, vamos para o terceiro lado, de a .
Parametrização:
Neste trecho, e varia de 1 a 0. Podemos definir: