Calcule a integral de linha em que C é a curva dada.
(i) integralC(x+y) d s, C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral , onde é a fronteira de um triângulo com vértices em , e . Vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha, e entender como parametrizar cada lado do triângulo para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo no plano. Ele tem três lados:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Precisamos calcular a integral para cada um desses lados e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar pelo primeiro lado, de x(t) = t, y(t) = 0, t in [0, 1] a integral0^1 (x + y) , ds = integral0^1 (t + 0) , dt = integral0^1 t , dt = t^22 |0^1 = 12 .
Parametrização:
Nesse trecho, e varia de 0 a 1. Podemos definir:
Cálculo de :
Como é constante, .
Integral:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo lado, de x(t) = 1 - t, y(t) = t, t in [0, 1] a dxdt = -1, dydt = 1 .
Parametrização:
Aqui, ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz1 + 1 , dt = raiz2 , dt e integral0^1 (x + y) , ds = integral0^1 ((1 - t) + t) raiz2 , dt = integral0^1 1 cdot raiz2 , dt = raiz2 cdot t |0^1 = raiz2 variam simultaneamente. Podemos definir:
Cálculo de :
Calculamos as derivadas:
Então,
Integral:

Passo 5

Por fim, vamos para o terceiro lado, de x(t) = 0, y(t) = 1 - t, t in [0, 1] a ds = dy = d(-t) = dt .
Parametrização:
Neste trecho, integral0^1 (x + y) , ds = integral0^1 (0 + (1 - t)) , dt = integral0^1 (1 - t) , dt = t - t^22 |0^1 = 1 - 12 = 12 e varia de 1 a 0. Podemos definir:
Cálculo de :
Como é constante,
Integral:

Resposta

Somando as integrais de cada lado:
12 + raiz2 + 12 = 1 + raiz2
Portanto, o valor da integral de linha é .

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