Calcule a integral de linha em que é a curva dada.
é a fronteira do triângulo de vértices e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral , onde é a fronteira de um triângulo com vértices em , e . Vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha, e entender como parametrizar cada lado do triângulo para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo no plano. Ele tem três lados:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Precisamos calcular a integral para cada um desses lados e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar pelo primeiro lado, de a .
Parametrização:
Nesse trecho, e varia de 0 a 1. Podemos definir:
Cálculo de :
Como é constante, .
Integral:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo lado, de a .
Parametrização:
Aqui, e variam simultaneamente. Podemos definir:
Cálculo de :
Calculamos as derivadas:
Então,
Integral:

Passo 5

Por fim, vamos para o terceiro lado, de a .
Parametrização:
Neste trecho, e varia de 1 a 0. Podemos definir:
Cálculo de :
Como é constante,
Integral:

Resposta

Somando as integrais de cada lado:
Portanto, o valor da integral de linha é .

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