Considere o campo F(x, y, z) = (x, y, z). Use o teorema de Gauss para calcular:
(14.1) A integral de F sobre a superfície cúbica determinada pelos palnos x=0, x=1, y=0, y=1, z = 0 e z = 1
(14.2) O fluxo de F, sendo S a superfície fechada composta pelas superfícies z = 4, x^2 + y^2 + z^2 = 4 e z = raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde temos o campo F(x, y, z) = (x, y, z) e vamos usar o Teorema de Gauss para calcular duas integrais de superfície. O Teorema de Gauss, ou Teorema da Divergência, ajuda a transformar integrais de superfície em integrais de volume, o que muitas vezes simplifica a resolução. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo F e as áreas dos volumes envolvidos.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte do exercício, (14.1), que pede a integral de F sobre a superfície de um cubo delimitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1.

Passo 3

Primeiro, calculamos a divergência do campo F. A divergência é dada por:
Para nosso campo F(x, y, z) = (x, y, z), temos:

Passo 4

Segundo o Teorema de Gauss, a integral de superfície de F sobre o cubo é igual à integral de volume da divergência de F sobre o interior do cubo. Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de volume. O cubo tem lados de comprimento 1, então o volume V é:
Portanto, a integral de volume fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda parte do exercício, (14.2), que pede o fluxo de F sobre a superfície fechada S composta pelas superfícies z = 4, x^2 + y^2 + z^2 = 4 e z = raiz(x^2 + y^2).

Passo 7

Primeiro, analisamos a superfície S. Ela é composta por três partes:
  1. O plano z = 4.
  2. A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.
  3. O cone z = raiz(x^2 + y^2).

Passo 8

Como vamos usar o Teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência do campo F, que já vimos que é . Em seguida, precisamos determinar o volume V delimitado por essas superfícies.

Passo 9

Vamos visualizar o volume V. A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 tem raio e está centrada na origem. O plano z = 4 está acima dessa esfera, mas como a esfera tem raio , na verdade z varia até . O cone z = raiz(x^2 + y^2) intercepta a esfera onde e x^2 + y^2 + z^2 = 4. Substituindo z na equação da esfera:
Então, o volume V é a região dentro da esfera de raio e acima do cone z = raiz(x^2 + y^2).

Passo 10

Vamos calcular a integral de volume da divergência:
Para calcular o volume V, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, onde , , , a condição do cone se traduz em:

Passo 11

O volume V está limitado por rho de 0 a , theta de 0 a , e phi de 0 a pi/4. A integral de volume em coordenadas esféricas é:
Primeiro, integramos em rho:
Depois, em phi:
E finalmente, em theta:

Passo 12

Multiplicando todos os resultados:
Simplificando:

Passo 13

Agora, multiplicamos pelo fator da divergência:

Resposta

O fluxo de F sobre a superfície S é .

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