Considere o campo . Use o teorema de Gauss para calcular:
(14.1) A integral de sobre a superfície cúbica determinada pelos palnos , e
(14.2) O fluxo de , sendo a superfície fechada composta pelas superfícies e

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde temos o campo e vamos usar o Teorema de Gauss para calcular duas integrais de superfície. O Teorema de Gauss, ou Teorema da Divergência, ajuda a transformar integrais de superfície em integrais de volume, o que muitas vezes simplifica a resolução. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo e as áreas dos volumes envolvidos.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte do exercício, (14.1), que pede a integral de sobre a superfície de um cubo delimitado pelos planos , , , , e .

Passo 3

Primeiro, calculamos a divergência do campo . A divergência é dada por:
Para nosso campo , temos:

Passo 4

Segundo o Teorema de Gauss, a integral de superfície de sobre o cubo é igual à integral de volume da divergência de sobre o interior do cubo. Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de volume. O cubo tem lados de comprimento 1, então o volume é:
Portanto, a integral de volume fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda parte do exercício, (14.2), que pede o fluxo de sobre a superfície fechada composta pelas superfícies , e .

Passo 7

Primeiro, analisamos a superfície . Ela é composta por três partes:
  1. O plano .
  2. A esfera .
  3. O cone .

Passo 8

Como vamos usar o Teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência do campo , que já vimos que é . Em seguida, precisamos determinar o volume delimitado por essas superfícies.

Passo 9

Vamos visualizar o volume . A esfera tem raio e está centrada na origem. O plano está acima dessa esfera, mas como a esfera tem raio , na verdade varia até . O cone intercepta a esfera onde e . Substituindo na equação da esfera:
Então, o volume é a região dentro da esfera de raio e acima do cone .

Passo 10

Vamos calcular a integral de volume da divergência:
Para calcular o volume , podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, onde , , , a condição do cone se traduz em:

Passo 11

O volume está limitado por de a , de a , e de a . A integral de volume em coordenadas esféricas é:
Primeiro, integramos em :
Depois, em :
E finalmente, em :

Passo 12

Multiplicando todos os resultados:
Simplificando:

Passo 13

Agora, multiplicamos pelo fator da divergência:

Resposta

O fluxo de sobre a superfície é .

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