Considere o campo
. Use o teorema de Gauss para calcular:
(14.1) A integral de
sobre a superfície cúbica determinada pelos palnos
,
e
(14.2) O fluxo de
, sendo
a superfície fechada composta pelas superfícies
e
(14.1) A integral de
(14.2) O fluxo de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde temos o campo
e vamos usar o Teorema de Gauss para calcular duas integrais de superfície. O Teorema de Gauss, ou Teorema da Divergência, ajuda a transformar integrais de superfície em integrais de volume, o que muitas vezes simplifica a resolução. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo
e as áreas dos volumes envolvidos.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte do exercício, (14.1), que pede a integral de
sobre a superfície de um cubo delimitado pelos planos
,
,
,
,
e
.
Passo 3
Primeiro, calculamos a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Para nosso campo
, temos:
Passo 4
Segundo o Teorema de Gauss, a integral de superfície de
sobre o cubo é igual à integral de volume da divergência de
sobre o interior do cubo. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de volume. O cubo tem lados de comprimento 1, então o volume
é:
Portanto, a integral de volume fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda parte do exercício, (14.2), que pede o fluxo de
sobre a superfície fechada
composta pelas superfícies
,
e
.
Passo 7
Primeiro, analisamos a superfície
. Ela é composta por três partes:
- O plano
. - A esfera
. - O cone
.
Passo 8
Como vamos usar o Teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência do campo
, que já vimos que é
. Em seguida, precisamos determinar o volume
delimitado por essas superfícies.
Passo 9
Vamos visualizar o volume
. A esfera
tem raio
e está centrada na origem. O plano
está acima dessa esfera, mas como a esfera tem raio
, na verdade
varia até
. O cone
intercepta a esfera onde
e
. Substituindo
na equação da esfera:
Então, o volume
é a região dentro da esfera de raio
e acima do cone
.
Passo 10
Vamos calcular a integral de volume da divergência:
Para calcular o volume
, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, onde
,
,
, a condição do cone
se traduz em:
Passo 11
O volume
está limitado por
de
a
,
de
a
, e
de
a
. A integral de volume em coordenadas esféricas é:
Primeiro, integramos em
:
Depois, em
:
E finalmente, em
:
Passo 12
Multiplicando todos os resultados:
Simplificando:
Passo 13
Agora, multiplicamos pelo fator da divergência:
Resposta
O fluxo de
sobre a superfície
é
.
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