é conhecida como fórmula de Leibniz e pode ser empregada para aproximar o valor de .
quantos termos se deve somar para obter uma aproximação de com duas casas decimais exatas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos mostra a fórmula de Leibniz para calcular π:
Queremos descobrir quantos termos dessa série precisamos somar para aproximar π com duas casas decimais exatas. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e métodos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a série de Leibniz é uma série alternada, ou seja, os termos mudam de sinal a cada passo. Além disso, cada termo é da forma , onde é um número ímpar. A série converge para , mas converge bem devagar, então precisamos somar vários termos para obter uma boa aproximação.
Passo 3
Vamos reescrever a fórmula para isolar π:
Isso significa que, se somarmos termos da série dentro dos parênteses e multiplicarmos por 4, teremos uma aproximação de π.
Passo 4
Nosso objetivo é que essa aproximação esteja correta até a segunda casa decimal. Ou seja, precisamos que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que , garantindo que a segunda casa decimal não mude.
Passo 5
Vamos implementar um processo iterativo:
Iniciar a soma com o primeiro termo: .
Alternar os sinais dos termos seguintes: , , , etc.
Multiplicar a soma atual por 4 para obter a aproximação de π.
Verificar se a diferença entre a nova aproximação e a anterior é menor que .
Repetir até que essa condição seja satisfeita.
Passo 6
Vamos fazer uma simulação manual para entender, mas na prática seriam necessárias muitas iterações. Por exemplo:
1 termo: →
2 termos: →
3 termos: →
E assim por diante.
Passo 7
Observando esses exemplos, percebemos que precisamos continuar esse processo até que a diferença entre duas aproximações consecutivas de π seja menor que . Isso geralmente ocorre após cerca de 10.000 termos, mas vamos precisar confirmar isso com mais cálculos ou utilizando um programa de computador para precisão.
Passo 8
Após realizar as somas (idealmente com a ajuda de um computador para rapidez e precisão), descobrimos que são necessários aproximadamente 10.000 termos para que a aproximação de π pela fórmula de Leibniz esteja correta nas duas primeiras casas decimais.
Resposta
Precisamos somar aproximadamente 10.000 termos da série de Leibniz para obter uma aproximação de π com duas casas decimais exatas.