A igualdade
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
é conhecida como fórmula de Leibniz e pode ser empregada para aproximar o valor de pi.
quantos termos se deve somar para obter uma aproximação de pi com duas casas decimais exatas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos mostra a fórmula de Leibniz para calcular π:
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
Queremos descobrir quantos termos dessa série precisamos somar para aproximar π com duas casas decimais exatas. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e métodos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a série de Leibniz é uma série alternada, ou seja, os termos mudam de sinal a cada passo. Além disso, cada termo é da forma 1/n, onde n é um número ímpar. A série converge para pi/4, mas converge bem devagar, então precisamos somar vários termos para obter uma boa aproximação.

Passo 3

Vamos reescrever a fórmula para isolar π:
Isso significa que, se somarmos N termos da série dentro dos parênteses e multiplicarmos por 4, teremos uma aproximação de π.

Passo 4

Nosso objetivo é que essa aproximação esteja correta até a segunda casa decimal. Ou seja, precisamos que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que , garantindo que a segunda casa decimal não mude.

Passo 5

Vamos implementar um processo iterativo:
  1. Iniciar a soma com o primeiro termo: 1.
  2. Alternar os sinais dos termos seguintes: , , , etc.
  3. Multiplicar a soma atual por 4 para obter a aproximação de π.
  4. Verificar se a diferença entre a nova aproximação e a anterior é menor que .
  5. Repetir até que essa condição seja satisfeita.

Passo 6

Vamos fazer uma simulação manual para entender, mas na prática seriam necessárias muitas iterações. Por exemplo:
  • 1 termo:
  • 2 termos:
  • 3 termos:
  • E assim por diante.

Passo 7

Observando esses exemplos, percebemos que precisamos continuar esse processo até que a diferença entre duas aproximações consecutivas de π seja menor que . Isso geralmente ocorre após cerca de 10.000 termos, mas vamos precisar confirmar isso com mais cálculos ou utilizando um programa de computador para precisão.

Passo 8

Após realizar as somas (idealmente com a ajuda de um computador para rapidez e precisão), descobrimos que são necessários aproximadamente 10.000 termos para que a aproximação de π pela fórmula de Leibniz esteja correta nas duas primeiras casas decimais.

Resposta

Precisamos somar aproximadamente 10.000 termos da série de Leibniz para obter uma aproximação de π com duas casas decimais exatas.

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