A igualdade
é conhecida como fórmula de Leibniz e pode ser empregada para aproximar o valor de
.
Sabendo que
, obtenha a fórmula de Leibniz por integração termo a termo da série de potências de
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar a Fórmula de Leibniz que aproxima o valor de π. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente envolvendo séries de potências e integração. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série da função
e integrar termo a termo de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser expandida como uma série de potências. Isso significa que a gente escreve essa função como uma soma infinita de termos envolvendo
elevado a alguma potência. A série de potências para
é:
Essa é uma série alternada onde os sinais vão mudando de positivo para negativo.
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série de 0 a 1 termo a termo. Isso é possível porque a série converge de maneira adequada no intervalo considerado. Então, integramos cada termo individualmente:
Aqui, trocamos a ordem da soma e da integral, o que é permitido devido à convergência da série.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
de 0 a 1. A integral de
de 0 a 1 é
, então temos:
Substituindo de volta na soma, temos:
Passo 5
Sabemos que a integral
é igual a
, que por definição é
. Então, igualando as duas expressões:
Passo 6
Finalmente, escrevemos a série de forma explícita:
Essa é a Fórmula de Leibniz que o enunciado pediu para obter.
Resposta
A Fórmula de Leibniz é dada por
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Decida se cada uma das séries a seguir é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.
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Encontre a área entre as curvas
e
no intervalo [0,2].
A igualdade
é conhecida como fórmula de Leibniz e pode ser empregada para aproximar o valor de
.
quantos termos se deve somar para obter uma aproximação de com duas casas decimais exatas?
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