A igualdade
pi4=1-13+15-17+19-ldots
é conhecida como fórmula de Leibniz e pode ser empregada para aproximar o valor de pi.
Sabendo que pi4=arctg(1)=integral0^1 11+t^2 d t, obtenha a fórmula de Leibniz por integração termo a termo da série de potências de 11+x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar a Fórmula de Leibniz que aproxima o valor de π. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente envolvendo séries de potências e integração. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série da função e integrar termo a termo de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função 11+x^2 = sumn=0^infty (-1)^n x^2n pode ser expandida como uma série de potências. Isso significa que a gente escreve essa função como uma soma infinita de termos envolvendo elevado a alguma potência. A série de potências para é:
Essa é uma série alternada onde os sinais vão mudando de positivo para negativo.

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série de 0 a 1 termo a termo. Isso é possível porque a série converge de maneira adequada no intervalo considerado. Então, integramos cada termo individualmente:
integral0^1 11+x^2 dx = integral0^1 sumn=0^infty (-1)^n x^2n dx = sumn=0^infty (-1)^n integral0^1 x^2n dx
Aqui, trocamos a ordem da soma e da integral, o que é permitido devido à convergência da série.

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral0^1 x^2n dx = 12n + 1 de 0 a 1. A integral de sumn=0^infty (-1)^n 12n + 1 de 0 a 1 é , então temos:
Substituindo de volta na soma, temos:

Passo 5

Sabemos que a integral pi4 = sumn=0^infty (-1)^n 12n + 1 é igual a , que por definição é . Então, igualando as duas expressões:

Passo 6

Finalmente, escrevemos a série de forma explícita:
pi4 = 1 - 13 + 15 - 17 + 19 - ldots
Essa é a Fórmula de Leibniz que o enunciado pediu para obter.

Resposta

A Fórmula de Leibniz é dada por
pi4 = 1 - 13 + 15 - 17 + 19 - ldots

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