Encontre a área entre as curvas y = x^2 e y = 2 x no intervalo [0,2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área entre as curvas e no intervalo de até . Isso envolve cálculos de integração, que é uma parte importante do cálculo. Vamos precisar descobrir qual curva está acima da outra nesse intervalo para depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo dado. Para isso, podemos comparar os valores de para alguns pontos no intervalo de a .
Vamos testar em :
Em :
Em :
Observando esses valores, vemos que entre e , a curva está acima de , e entre e , as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos que está acima de nesse intervalo, podemos calcular a área entre as curvas usando a fórmula da integração definida da diferença das funções:
Áçãçã
Substituindo as funções:
Á

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Á

Resposta

A área entre as curvas e no intervalo de a é unidades quadradas.

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