Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
a) f(x)=e^(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função usando a definição. A série de Maclaurin é uma forma de escrever funções como uma soma infinita de termos, baseada nas derivadas da função em zero. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da série de Maclaurin e como calcular as derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É um caso especial da série de Taylor, onde o ponto de expansão é . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . A função exponencial tem a propriedade de que suas derivadas são sempre múltiplos dela mesma. Vamos ver:
  • E assim por diante…
Observamos que a n-ésima derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em :
Então, cada termo da série de Maclaurin será:

Passo 5

Substituindo esses termos na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Essa é a série de Maclaurin para .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Maclaurin para converge para todo , independentemente do valor de . Isso ocorre porque a série é uma série de potências cujo raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin de é:
E o intervalo de convergência é todos os números reais, ou seja, .

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Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
e) sumn=1^infty n^3(2 x-43)^n.
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
a) sumn=1^infty n^3(x-4)^n
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
b) f(x) = x / (1 - x^3)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
g) f(x) = x * e^(x^2)