Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função
usando a definição. A série de Maclaurin é uma forma de escrever funções como uma soma infinita de termos, baseada nas derivadas da função em zero. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da série de Maclaurin e como calcular as derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É um caso especial da série de Taylor, onde o ponto de expansão é
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. A função exponencial tem a propriedade de que suas derivadas são sempre múltiplos dela mesma. Vamos ver:
-
-
-
-
- E assim por diante…
Observamos que a n-ésima derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
Então, cada termo da série de Maclaurin será:
Passo 5
Substituindo esses termos na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Essa é a série de Maclaurin para
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Maclaurin para
converge para todo
, independentemente do valor de
. Isso ocorre porque a série
é uma série de potências cujo raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o intervalo de convergência é todos os números reais, ou seja,
.
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Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
e) .
e)
Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
a)
a)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
b)
b)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
g)
g)