Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
e) .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de convergência da série e identificar em qual valor ela está centrada. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o intervalo onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da série de uma forma mais simples. Observamos que pode ser reescrito como , o que nos mostra que a série está centrada em .
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão. Consideramos o termo geral da série:
Calculamos o limite:
Simplificando:
L = |2(x - 2)3| cdot limn to infty (1 + 1n)^3 = |2(x - 2)3|
Passo 4
Para a série convergir, o limite |2(x - 2)3| < 1 deve ser menor que 1: