Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
e) sumn=1^infty n^3(2 x-43)^n.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de convergência da série e identificar em qual valor ela está centrada. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o intervalo onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da série de uma forma mais simples. Observamos que pode ser reescrito como , o que nos mostra que a série está centrada em .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Consideramos o termo geral da série:
an = n^3(2(x - 2)3)^n
Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (n+1)^3(2(x - 2)3)^n+1n^3(2(x - 2)3)^n |
Simplificando:
L = |2(x - 2)3| cdot limn to infty (1 + 1n)^3 = |2(x - 2)3|

Passo 4

Para a série convergir, o limite |2(x - 2)3| < 1 deve ser menor que 1:
|x - 2| < 32
Resolvendo a desigualdade:
2 - 32 < x < 2 + 32 implies 12 < x < 72
Isso nos dá o intervalo:

Resposta

A série converge para e está centrada em .

Exercícios relacionados

Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
a) sumn=1^infty n^3(x-4)^n
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
f) sumn=2^infty 9^n x^2 nln n
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
a) f(x)=e^(2 x)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
b) f(x) = x / (1 - x^3)