Ilustre com um exemplo a validade da seguinte afirmação: $\operatorname{dim}(U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U \cap W)
Passo 1
Vamos olhar esse problema juntos! A questão pede para ilustrar com um exemplo que a dimensão da soma de dois subespaços
e
é igual à soma das dimensões de
e
menos a dimensão da interseção deles. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar escolher um espaço vetorial, definir dois subespaços
e
, e calcular as dimensões envolvidas na fórmula.
Passo 2
Vamos escolher o espaço vetorial
, que é um espaço bem conhecido. Agora, vamos definir dois subespaços dentro dele.
- Seja
o subespaço gerado pelo vetor . - Seja
o subespaço gerado pelo vetor .
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a dimensão de
. Como
é gerado por um único vetor
, a dimensão de
é 1.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a dimensão de
. Similarmente,
é gerado por um único vetor
, então a dimensão de
também é 1.
Passo 5
Vamos agora encontrar a interseção
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão simultaneamente em
e em
. Como
é gerado por
e
por
, o único vetor em comum é o vetor zero.
A dimensão da interseção é 0.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a soma
, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
No nosso caso, isso resulta em todos os vetores da forma
, onde
e
são reais. Portanto,
é um plano no
, e sua dimensão é 2.
Passo 7
Vamos verificar agora a fórmula dada:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação
foi confirmada com o exemplo escolhido, demonstrando sua validade.