Ilustre com um exemplo a validade da seguinte afirmação: $\operatorname{dim}(U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U \cap W)

Passo 1

Vamos olhar esse problema juntos! A questão pede para ilustrar com um exemplo que a dimensão da soma de dois subespaços e é igual à soma das dimensões de e menos a dimensão da interseção deles. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar escolher um espaço vetorial, definir dois subespaços e , e calcular as dimensões envolvidas na fórmula.

Passo 2

Vamos escolher o espaço vetorial , que é um espaço bem conhecido. Agora, vamos definir dois subespaços dentro dele.
  • Seja o subespaço gerado pelo vetor .
  • Seja o subespaço gerado pelo vetor .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a dimensão de dim U = 1 . Como é gerado por um único vetor , a dimensão de é 1.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a dimensão de dim W = 1 . Similarmente, é gerado por um único vetor , então a dimensão de também é 1.

Passo 5

Vamos agora encontrar a interseção U cap W = 0 . Isso significa encontrar todos os vetores que estão simultaneamente em dim(U cap W) = 0 e em . Como é gerado por e por , o único vetor em comum é o vetor zero.
A dimensão da interseção é 0.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a soma U + W = u + w , | , u in U, w in W , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de dim(U + W) = 2 e um vetor de .
No nosso caso, isso resulta em todos os vetores da forma , onde e são reais. Portanto, é um plano no , e sua dimensão é 2.

Passo 7

Vamos verificar agora a fórmula dada:
dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U cap W)
Substituindo os valores que encontramos:
2 = 1 + 1 - 0
2 = 2

Resposta

A equação foi confirmada com o exemplo escolhido, demonstrando sua validade.

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