Ilustre com um exemplo a validade da seguinte afirmação: $\operatorname{dim}(U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U \cap W)
Passo 1
Vamos olhar esse problema juntos! A questão pede para ilustrar com um exemplo que a dimensão da soma de dois subespaços e é igual à soma das dimensões de e menos a dimensão da interseção deles. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar escolher um espaço vetorial, definir dois subespaços e , e calcular as dimensões envolvidas na fórmula.
Passo 2
Vamos escolher o espaço vetorial , que é um espaço bem conhecido. Agora, vamos definir dois subespaços dentro dele.
Seja o subespaço gerado pelo vetor .
Seja o subespaço gerado pelo vetor .
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a dimensão de . Como é gerado por um único vetor , a dimensão de é 1.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a dimensão de . Similarmente, é gerado por um único vetor , então a dimensão de também é 1.
Passo 5
Vamos agora encontrar a interseção . Isso significa encontrar todos os vetores que estão simultaneamente em e em . Como é gerado por e por , o único vetor em comum é o vetor zero.
A dimensão da interseção é 0.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a soma , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
No nosso caso, isso resulta em todos os vetores da forma , onde e são reais. Portanto, é um plano no , e sua dimensão é 2.
Passo 7
Vamos verificar agora a fórmula dada:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação foi confirmada com o exemplo escolhido, demonstrando sua validade.