Sejam e subespaços vetoriais de gerados por e respectivamente.
Determine e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as dimensões dos subespaços e , além das dimensões da interseção e da soma . Estamos trabalhando com vetores em , e os subespaços e são gerados pelos conjuntos de vetores dados. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dimensão de subespaços, espaços gerados por conjuntos de vetores e interseção e soma de subespaços. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a dimensão de . A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes que geram .
Os vetores que geram são:
Para descobrir quantos desses vetores são linearmente independentes, vamos montar uma matriz com eles como colunas e reduzir para a forma escalonada.
Agora, aplicamos operações de linha para simplificar a matriz:
Subtraia a primeira linha da segunda e da quarta:
Subtraia 3 vezes a segunda linha da terceira e a segunda linha da quarta:
Vemos que há duas linhas não nulas, o que significa que os vetores são linearmente independentes até o segundo vetor. Portanto, a dimensão de é 2.
Passo 3
Agora, vamos determinar a dimensão de . Usamos o mesmo processo.
Os vetores que geram são:
Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Aplicamos operações de linha:
Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda e da terceira, e adicione 2 vezes a primeira linha à quarta:
Multiplique a segunda linha por -1:
Adicione 2 vezes a segunda linha à terceira e subtraia a segunda linha da quarta:
Novamente, temos duas linhas não nulas, indicando que a dimensão de é 2.
Passo 4
Agora que sabemos que e , vamos encontrar a dimensão da interseção . Para isso, precisamos encontrar todos os vetores que estão em e também em .
Isso equivale a resolver o sistema de equações que representa e simultaneamente. Alternativamente, podemos usar a fórmula:
Mas primeiro, vamos encontrar .
Passo 5
Para encontrar , precisamos resolver . Isso significa encontrar vetores que podem ser expressos tanto como combinações lineares dos vetores de quanto dos de .
Vamos supor que um vetor pertence a . Então:
e
Igualando as duas expressões:
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Passo 6
Resolvendo o sistema passo a passo:
Da quarta equação:
Substituímos na primeira equação:
Substituímos e na segunda equação:
Mas a segunda equação original é:
Então, , que é sempre verdadeiro.
4. Agora, substituímos e na terceira equação:
Então, .
Substituímos nas expressões de e :
Então, temos:
Isso significa que todos os vetores em são da forma:
Portanto, é gerado pelo vetor , e sua dimensão é 1.
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a dimensão da soma . Podemos usar a fórmula que relaciona as dimensões: