Sejam U e W subespaços vetoriais de R^4 gerados por R=(1,1,0,-1),(1,2,3,0),(2,3,3,-1) e S=(1,2,2,-2),(2,3,2,-3),(1,3,4,-3) respectivamente.
Determine dim U, dim W, dim(U cap W) e dim(U+W).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as dimensões dos subespaços e , além das dimensões da interseção e da soma . Estamos trabalhando com vetores em , e os subespaços e são gerados pelos conjuntos de vetores dados. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dimensão de subespaços, espaços gerados por conjuntos de vetores e interseção e soma de subespaços. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a dimensão de R = 110-1, 1230, 233-1 . A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes que geram A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 0 & 3 & 3 -1 & 0 & -1 .
Os vetores que geram 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 0 & 3 & 3 0 & 1 & 1 são:
1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Para descobrir quantos desses vetores são linearmente independentes, vamos montar uma matriz com eles como colunas e reduzir para a forma escalonada.
Agora, aplicamos operações de linha para simplificar a matriz:
  1. Subtraia a primeira linha da segunda e da quarta:
  1. Subtraia 3 vezes a segunda linha da terceira e a segunda linha da quarta:
Vemos que há duas linhas não nulas, o que significa que os vetores são linearmente independentes até o segundo vetor. Portanto, a dimensão de é 2.

Passo 3

Agora, vamos determinar a dimensão de S = 122-2, 232-3, 134-3 . Usamos o mesmo processo.
Os vetores que geram B = 1 & 2 & 1 2 & 3 & 3 2 & 2 & 4 -2 & -3 & -3 são:
1 & 2 & 1 0 & -1 & 1 0 & -2 & 2 0 & 1 & -1
Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
1 & 2 & 1 0 & 1 & -1 0 & -2 & 2 0 & 1 & -1
Aplicamos operações de linha:
  1. Subtraia 2 vezes a primeira linha da segunda e da terceira, e adicione 2 vezes a primeira linha à quarta:
1 & 2 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. Multiplique a segunda linha por -1:
  1. Adicione 2 vezes a segunda linha à terceira e subtraia a segunda linha da quarta:
Novamente, temos duas linhas não nulas, indicando que a dimensão de é 2.

Passo 4

Agora que sabemos que dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U cap W) e , vamos encontrar a dimensão da interseção . Para isso, precisamos encontrar todos os vetores que estão em e também em .
Isso equivale a resolver o sistema de equações que representa e simultaneamente. Alternativamente, podemos usar a fórmula:
Mas primeiro, vamos encontrar .

Passo 5

Para encontrar v = a 110-1 + b 1230 , precisamos resolver v = c 122-2 + d 232-3 . Isso significa encontrar vetores que podem ser expressos tanto como combinações lineares dos vetores de a 110-1 + b 1230 = c 122-2 + d 232-3 quanto dos de a + b = c + 2d a + 2b = 2c + 3d 0a + 3b = 2c + 2d -1a + 0b = -2c -3d .
Vamos supor que um vetor pertence a . Então:
e
Igualando as duas expressões:
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 6

Resolvendo o sistema passo a passo:
  1. Da quarta equação:
-a = -2c - 3d implies a = 2c + 3d
  1. Substituímos 2c + 3d + b = c + 2d implies b = -c - d na primeira equação:
2c + 3d + 2(-c - d) = 2c + 3d + (-2c - 2d) = 0c + d
  1. Substituímos a + 2b = 2c + 3d implies 2c + 3d + 2(-c - d) = 2c + 3d - 2c - 2d = d e 3b = 2c + 2d implies 3(-c - d) = 2c + 2d implies -3c -3d = 2c + 2d implies -5c -5d = 0 implies c + d = 0 na segunda equação:
a = 2(-d) + 3d = -2d + 3d = d
Mas a segunda equação original é:
b = -(-d) - d = d - d = 0
Então, a = d, b = 0, c = -d , que é sempre verdadeiro.
4. Agora, substituímos v = d 110-1 e 110-1 na terceira equação:
Então, .
  1. Substituímos nas expressões de e :
Então, temos:
Isso significa que todos os vetores em são da forma:
Portanto, é gerado pelo vetor , e sua dimensão é 1.

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a dimensão da soma dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U cap W) . Podemos usar a fórmula que relaciona as dimensões:
dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

dim U = 2 dim W = 2 dim(U cap W) = 1 dim(U + W) = 3

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