ILW The string in Fig. 8-36 is L=120 cm long, has a ball attached to one end, and is fixed at its other end. The distance d from the fixed end to a fixed peg at point P is 75.0 cm. When the initially stationary ball is released with the string horizontal as shown, it will swing along the dashed arc. What is its speed when it reaches (a) its lowest point and (b) its highest point after the string catches on the peg?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda de fixada em um ponto, com uma bola na outra extremidade. A uma distância do ponto fixo, há um gancho. Quando liberamos a bola da posição horizontal, ela começa a oscilar em um arco. Precisamos descobrir a velocidade da bola em dois momentos:
(a) No ponto mais baixo da trajetória.
(b) No ponto mais alto após a corda prender no gancho.
Para resolver isso, vamos usar conservação de energia e entender como a mudança na trajetória afeta a velocidade da bola.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade da bola no ponto mais baixo antes da corda prender no gancho. Quando a bola é liberada da posição horizontal, ela tem energia potencial máxima e energia cinética zero. No ponto mais baixo, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética.
A energia potencial gravitacional U = m cdot g cdot h na posição inicial é dada por:
h = L = 1,2 , m
onde:
  • K = 12 m v^2 é a massa da bola,
  • U = K é a aceleração da gravidade ( m cdot g cdot h = 12 m v^2 ),
  • g cdot h = 12 v^2 é a altura que a bola cai.
Como a corda tem comprimento v^2 = 2 g h e a bola é liberada da posição horizontal, a altura v = raiz2 g h que a bola desce é igual ao comprimento da corda:
v = raiz2 cdot 9,8 , m/s^2 cdot 1,2 , m approx raiz23,52 approx 4,85 , m/s
A energia cinética no ponto mais baixo é:
Pela conservação de energia:
Podemos cancelar a massa dos dois lados:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos para o ponto (b): a velocidade no ponto mais alto após a corda prender no gancho. Quando a bola passa pelo gancho, a corda efetivamente fica com comprimento Kbaixo = 12 m v^2 .
No ponto mais alto após prender no gancho, a bola tem uma altura menor, e parte da energia cinética será convertida novamente em energia potencial.
Vamos usar a conservação de energia novamente, agora entre o ponto mais baixo (onde a velocidade é Ua) e o ponto mais alto após prender no gancho.
A energia cinética no ponto mais baixo:
h' = d - d cos(theta)
A energia potencial no ponto mais alto:
Kbaixo = Ua
onde 12 m v^2 = m cdot g cdot h' é a altura em relação ao ponto mais baixo.
O aumento de altura 12 v^2 = g cdot h' pode ser calculado pela diferença na extensão da corda:
h' = v^22 g
onde h' = (4,85)^22 cdot 9,8 approx 23,522519,6 approx 1,2 , m é o ângulo que a corda faz com a vertical no ponto mais alto. Porém, para simplificar, sabemos que no ponto mais alto, toda a energia cinética restante é igual à energia potencial:
No ponto mais alto, a velocidade é zero, então:
Substituindo :
Isso indica que a altura alcançada é igual ao comprimento da corda original, o que não faz sentido porque a corda agora tem comprimento menor ( ). Isso sugere que, na verdade, a bola não sobe, ou seja, a velocidade no ponto mais alto após prender no gancho é zero porque toda a energia cinética foi consumida para subir até a altura de .
Portanto, a velocidade da bola no ponto mais alto após prender no gancho é:

Resposta

(a) A velocidade da bola no ponto mais baixo é aproximadamente .
(b) No ponto mais alto após a corda prender no gancho, a velocidade da bola é .

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