Figure 8-32 shows a thin rod, of length and negligible mass, that can pivot about one end to rotate in a vertical circle. A ball of mass is attached to the other end. The rod is pulled aside to angle and released with initial velocity . As the ball descends to its lowest point, (a) how much work does the gravitational force do on it and (b) what is the change in the gravitational potential energy of the ball-Earth system? © If the gravitational potential energy is taken to be zero at the lowest point, what is its value just as the ball is released? (d) Do the magnitudes of the answers to (a) through © increase, decrease, or remain the same if angle is increased?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma barra fina de comprimento e massa desprezível, que pode girar em um círculo vertical ao redor de uma extremidade. No outro extremo, tem uma bola de massa presa. A barra é puxada para um ângulo inicial e solta sem velocidade inicial. Precisamos calcular o trabalho da força gravitacional, a mudança na energia potencial gravitacional, o valor da energia potencial no ponto de liberação e como esses valores mudam se aumentarmos o ângulo inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de trabalho, energia potencial gravitacional e como eles se aplicam a movimentos circulares.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): quanto trabalho a força gravitacional realiza na bola enquanto ela desce até o ponto mais baixo.
O trabalho feito por uma força é dado por:
No nosso caso, a força gravitacional faz trabalho ao mover a bola na direção vertical. Como a barra está rígida e a bola se move em um círculo vertical, a descida vertical da bola corresponde a uma diminuição na altura.
A altura inicial pode ser calculada usando o ângulo :
Substituindo os valores:
Agora, o trabalho realizado pela força gravitacional é:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): qual é a mudança na energia potencial gravitacional do sistema bola-Terra.
A mudança na energia potencial gravitacional ( ) é igual ao trabalho realizado pela força gravitacional, mas com sinal oposto, já que a energia potencial diminui quando a bola desce.
Então,

Passo 4

Passando para a parte ©: se a energia potencial gravitacional for zero no ponto mais baixo, qual é seu valor no momento em que a bola é solta.
Se definirmos no ponto mais baixo, então a energia potencial no ponto de liberação será igual à energia potencial ganha ao subir até a altura calculada anteriormente.

Passo 5

Finalmente, a parte (d): as magnitudes das respostas para as partes (a) a © aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas se o ângulo for aumentado.
Se aumentarmos o ângulo inicial , a altura que a bola desce até o ponto mais baixo também aumenta, já que:
Com um maior:
  • O trabalho realizado pela força gravitacional ( ) aumenta.
  • A mudança na energia potencial gravitacional ( ) também aumenta em magnitude.
  • A energia potencial no ponto de liberação ( ) aumenta.
Portanto, todas as magnitudes das respostas para as partes (a) a © aumentam se o ângulo for aumentado.

Resposta

(a) O trabalho realizado pela força gravitacional é aproximadamente .
(b) A mudança na energia potencial gravitacional do sistema é .
© A energia potencial gravitacional no ponto de liberação é .
(d) Se o ângulo for aumentado, as magnitudes das respostas para as partes (a) a © aumentam.

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