Imagine que nós temos um grupo formado por mulheres homens.
Imagine que os homens se dividem em
  • homens idosos entre 61 e 80 anos
  • homens adultos entre 21 e 40 anos
    E imagine que as mulheres se dividem em
  • mulheres maduras entre 41 e 60 anos
  • mulheres jovens com até 20 anos
    a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas pessoas.
    E imagine que cada mulher deve aparecer imediatamente atrás de um homem mais velho do que ela.
    De quantas maneiras isso pode ser feito?

Passo 1

Beleza, o enunciado fala sobre um grupo de pessoas formado por mulheres e homens, totalizando pessoas. Os homens estão divididos igualmente entre idosos (61-80 anos) e adultos (21-40 anos), cada grupo com homens. As mulheres também estão divididas igualmente entre maduras (41-60 anos) e jovens (até 20 anos), cada grupo com mulheres. A gente quer organizar todas essas pessoas em uma fila de modo que cada mulher fique imediatamente atrás de um homem que seja mais velho que ela. Nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras podemos formar essa fila respeitando essa regra. Vamos usar conceitos de permutação com restrições para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as restrições:
  • As mulheres maduras (41-60 anos) devem estar atrás de homens mais velhos que elas, ou seja, necessariamente atrás dos homens idosos (61-80 anos).
  • As mulheres jovens (até 20 anos) podem estar atrás de homens adultos (21-40 anos) ou idosos (61-80 anos), já que ambos são mais velhos que elas.
Então, temos que associar cada tipo de mulher com o tipo de homem que pode estar imediatamente à sua frente na fila.

Passo 3

Vamos determinar quantas opções temos para cada tipo de mulher:
  1. Mulheres maduras (41-60 anos): Elas só podem estar atrás de homens idosos. Como temos homens idosos, cada mulher madura tem opções de homens para ficar atrás.
  2. Mulheres jovens (até 20 anos): Elas podem estar atrás de qualquer homem adulto ou idoso. Juntos, temos homens que podem estar na frente delas.

Passo 4

Agora, vamos pensar no total de maneiras de organizar as mulheres com base nas opções que cada uma tem:
  • Mulheres maduras: Cada uma das mulheres maduras tem opções de homens. Então, o número de maneiras para as mulheres maduras é .
  • Mulheres jovens: Cada uma das mulheres jovens tem opções de homens. Então, o número de maneiras para as mulheres jovens é .

Passo 5

Além disso, precisamos considerar a disposição dos homens na fila. Como temos homens no total, independente de serem idosos ou adultos, eles podem ser organizados de maneiras.
No entanto, como já estamos atribuindo homens específicos para cada mulher, precisamos garantir que não estamos contando duas vezes a mesma disposição. Então, a forma correta é multiplicar as opções de cada mulher pelo número de maneiras de organizar os homens que permanecem na fila.

Passo 6

Juntando tudo, o número total de maneiras de formar a fila é dado pelo produto das maneiras de escolher os homens para as mulheres maduras e jovens, multiplicado pelas maneiras de organizar os homens restantes:

Resposta

O número total de maneiras de formar a fila respeitando as condições é .

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Imagine que você tem uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas.
E imagine que você pode usar no máximo bolinhas vermelhas.
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com bolinhas vermelhas.
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de .
E depois resolva essa soma.
Imagine que nós temos um grupo formado por casais.
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos onde
  • S só pode conter mulheres
  • T só pode conter homens
    E imagine que T não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em S .
    De quantas maneiras isso pode ser feito?
Defina e .
Pede-se: