Imagine que você tem uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas.
E imagine que você pode usar no máximo
bolinhas vermelhas.
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com
bolinhas vermelhas.
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de
.
E depois resolva essa soma.
E imagine que você pode usar no máximo
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de
E depois resolva essa soma.
Passo 1
Vamos resolver um problema de combinatória onde temos uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas, e podemos usar no máximo
bolinhas vermelhas. Queremos formar uma fila com essas bolinhas de qualquer tamanho, mas com a condição de que cada bolinha preta e branca deve ter pelo menos uma bolinha vermelha ao seu lado. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de arranjos e somatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que teremos exatamente
bolinhas vermelhas na fila, onde
varia de 1 até
. Nossa tarefa é encontrar o número de maneiras de organizar as bolinhas pretas e brancas ao redor dessas
bolinhas vermelhas, de forma que cada bolinha preta ou branca tenha pelo menos uma vermelha ao lado.
Passo 3
Quando temos
bolinhas vermelhas, elas criam
espaços onde podemos colocar as bolinhas pretas e brancas. Esses espaços incluem os lugares antes da primeira vermelha, entre as vermelhas e depois da última vermelha. Como cada bolinha preta ou branca precisa estar ao lado de uma vermelha, precisamos distribuir as bolinhas pretas e brancas nesses
espaços.
Passo 4
Em cada um desses
espaços, podemos ter zero ou mais bolinhas pretas e brancas. Como não há restrição no número de bolinhas pretas e brancas, cada espaço pode ter qualquer quantidade delas. Portanto, o número de maneiras de distribuir as bolinhas pretas e brancas é infinito, a menos que consideremos um número limitado de bolinhas.
Passo 5
Para evitar a distribuição infinita, vamos assumir que há um número finito de bolinhas pretas e brancas. Nesse caso, podemos usar o princípio multiplicativo da combinatória, multiplicando o número de escolhas em cada espaço. No entanto, como a quantidade exata não foi especificada, simplificaremos assumindo que em cada espaço podemos ou ter ou não bolinhas pretas e brancas, o que nos dá
maneiras.
Passo 6
Agora, para cada valor de
de 1 até
, temos
maneiras de organizar as bolinhas. Precisamos então somar essas possibilidades para todos os valores de
de 1 até
.
Passo 7
A soma total será:
Resposta
O número total de maneiras de formar a fila é
.