Imagine que você tem uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas.
E imagine que você pode usar no máximo
bolinhas vermelhas.
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com
bolinhas vermelhas.
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de
.
E depois resolva essa soma.
E imagine que você pode usar no máximo
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de
E depois resolva essa soma.
Passo 1
Vamos resolver um problema de combinatória onde temos uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas, e podemos usar no máximo
bolinhas vermelhas. Queremos formar uma fila com essas bolinhas de qualquer tamanho, mas com a condição de que cada bolinha preta e branca deve ter pelo menos uma bolinha vermelha ao seu lado. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de arranjos e somatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que teremos exatamente
bolinhas vermelhas na fila, onde
varia de 1 até
. Nossa tarefa é encontrar o número de maneiras de organizar as bolinhas pretas e brancas ao redor dessas
bolinhas vermelhas, de forma que cada bolinha preta ou branca tenha pelo menos uma vermelha ao lado.
Passo 3
Quando temos
bolinhas vermelhas, elas criam
espaços onde podemos colocar as bolinhas pretas e brancas. Esses espaços incluem os lugares antes da primeira vermelha, entre as vermelhas e depois da última vermelha. Como cada bolinha preta ou branca precisa estar ao lado de uma vermelha, precisamos distribuir as bolinhas pretas e brancas nesses
espaços.
Passo 4
Em cada um desses
espaços, podemos ter zero ou mais bolinhas pretas e brancas. Como não há restrição no número de bolinhas pretas e brancas, cada espaço pode ter qualquer quantidade delas. Portanto, o número de maneiras de distribuir as bolinhas pretas e brancas é infinito, a menos que consideremos um número limitado de bolinhas.
Passo 5
Para evitar a distribuição infinita, vamos assumir que há um número finito de bolinhas pretas e brancas. Nesse caso, podemos usar o princípio multiplicativo da combinatória, multiplicando o número de escolhas em cada espaço. No entanto, como a quantidade exata não foi especificada, simplificaremos assumindo que em cada espaço podemos ou ter ou não bolinhas pretas e brancas, o que nos dá
maneiras.
Passo 6
Agora, para cada valor de
de 1 até
, temos
maneiras de organizar as bolinhas. Precisamos então somar essas possibilidades para todos os valores de
de 1 até
.
Passo 7
A soma total será:
Resposta
O número total de maneiras de formar a fila é
.
Exercícios relacionados
Imagine que nós temos um grupo formado por
casais.
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos onde
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
- S só pode conter mulheres
- T só pode conter homens
E imagine que T não pode conter o marido de nenhuma mulher que está em S .
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que nós temos um grupo formado por
mulheres e
homens. Imagine que nós temos
-
chapéus vermelhos -
chapéus pretos -
chapéus amarelos -
chapéus brancos
a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essaspessoas.
E imagine que - as mulheres devem usar chapéus vermelhos ou amarelos
- os homens devem usar chapéus pretos ou brancos
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que nós temos um grupo formado por
mulheres
homens.
Imagine que os homens se dividem em
Imagine que os homens se dividem em
-
homens idosos entre 61 e 80 anos -
homens adultos entre 21 e 40 anos
E imagine que as mulheres se dividem em -
mulheres maduras entre 41 e 60 anos -
mulheres jovens com até 20 anos
a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essas pessoas.
E imagine que cada mulher deve aparecer imediatamente atrás de um homem mais velho do que ela.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Defina
e
.