Imagine que você tem uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas.
E imagine que você pode usar no máximo n bolinhas vermelhas.
Imagine que você quer formar uma fila com essas bolinhas - (de qualquer tamanho)
E imagine que cada bolinha preta e cada bolinha branca deve ter ao menos uma bolinha vermelha ao seu lado.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Dica: Conte primeiro a quantidade de filas com k bolinhas vermelhas.
Depois monte a soma com essa expressão para todo valor de k.
E depois resolva essa soma.

Passo 1

Vamos resolver um problema de combinatória onde temos uma grande quantidade de bolinhas pretas e brancas, e podemos usar no máximo bolinhas vermelhas. Queremos formar uma fila com essas bolinhas de qualquer tamanho, mas com a condição de que cada bolinha preta e branca deve ter pelo menos uma bolinha vermelha ao seu lado. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de arranjos e somatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que teremos exatamente bolinhas vermelhas na fila, onde varia de 1 até . Nossa tarefa é encontrar o número de maneiras de organizar as bolinhas pretas e brancas ao redor dessas bolinhas vermelhas, de forma que cada bolinha preta ou branca tenha pelo menos uma vermelha ao lado.

Passo 3

Quando temos bolinhas vermelhas, elas criam espaços onde podemos colocar as bolinhas pretas e brancas. Esses espaços incluem os lugares antes da primeira vermelha, entre as vermelhas e depois da última vermelha. Como cada bolinha preta ou branca precisa estar ao lado de uma vermelha, precisamos distribuir as bolinhas pretas e brancas nesses espaços.

Passo 4

Em cada um desses espaços, podemos ter zero ou mais bolinhas pretas e brancas. Como não há restrição no número de bolinhas pretas e brancas, cada espaço pode ter qualquer quantidade delas. Portanto, o número de maneiras de distribuir as bolinhas pretas e brancas é infinito, a menos que consideremos um número limitado de bolinhas.

Passo 5

Para evitar a distribuição infinita, vamos assumir que há um número finito de bolinhas pretas e brancas. Nesse caso, podemos usar o princípio multiplicativo da combinatória, multiplicando o número de escolhas em cada espaço. No entanto, como a quantidade exata não foi especificada, simplificaremos assumindo que em cada espaço podemos ou ter ou não bolinhas pretas e brancas, o que nos dá maneiras.

Passo 6

Agora, para cada valor de de 1 até , temos maneiras de organizar as bolinhas. Precisamos então somar essas possibilidades para todos os valores de de 1 até .

Passo 7

A soma total será:
sumk=1^n 2^k+1 = 2 sumk=1^n 2^k = 2 (2^n+1 - 2) = 2^n+2 - 4

Resposta

O número total de maneiras de formar a fila é .

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