Imaginemos que a força gravitacional de atração não possua dependência com a distância com o inverso do seu quadrado, ou seja,
. Suponha que seja proporcional à distância
que separa duas massas, na forma
, onde
é uma constante apropriadamente definida, de modo que a força seja dada em Newtons. Usando a Segunda Lei de Newton para realizar a descrição de uma órbita circular de um planeta sob a ação da força gravitacional nessa forma, determine a relação entre o período de revolução e o raio da respectiva órbita. ( 25 pontos).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está falando sobre a força gravitacional entre duas massas, mas, ao invés da força seguir a lei tradicional de inverso do quadrado da distância (
), aqui a força é proporcional à distância que separa as massas, ou seja,
, onde
é uma constante. A gente precisa usar a Segunda Lei de Newton para descrever uma órbita circular de um planeta sob essa força gravitacional e descobrir como o período de revolução (
) está relacionado com o raio da órbita (
). Para isso, vamos precisar entender a Segunda Lei de Newton e conceitos de movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
. No caso de um movimento circular, a aceleração que interessa aqui é a aceleração centrípeta, que mantém o objeto na trajetória circular. A fórmula para a aceleração centrípeta é
, onde
é a velocidade tangencial.
Passo 3
Vamos relacionar a força gravitacional com a força centrípeta necessária para manter o planeta em órbita. A força gravitacional é fornecida por
, e essa força deve ser igual à força centrípeta:
Aqui,
é a massa do planeta.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Então, isolando
:
Passo 5
Agora, queremos relacionar a velocidade tangencial
com o período de revolução
. Sabemos que a velocidade tangencial é dada por:
Vamos substituir essa expressão na equação que encontramos para
:
Passo 6
Simplificando a equação, expandindo o quadrado:
Observamos que
aparece nos dois lados da equação, então podemos cancelar:
Passo 7
Agora, vamos isolar
para encontrar a relação entre o período e os demais parâmetros:
Perceba que nessa relação,
é igual a uma constante que depende de
e
. Mas, como o raio
não aparece nessa equação final, percebemos que o período
é independente do raio da órbita.
Resposta
O período de revolução
é independente do raio
da órbita e dado por: