Inderate itmite
lim n infty sumi=1^infty cos (xi)xi De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o limite de uma soma infinita que envolve a função cosseno. Estamos lidando com cálculo, especificamente com séries e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma soma em uma integral usando o conceito de soma de Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão:
limn infty sumi=1^infty cos (xi)xi De
Aqui, representa um intervalo muito pequeno, e são os pontos onde a função é avaliada. Quando tende ao infinito, tende a zero, e a soma se aproxima de uma integral.

Passo 3

O próximo passo é reconhecer que essa soma de Riemann se transforma em uma integral definida. Assim, podemos reescrever o limite como uma integral:
integrala^b cos(x)x , dx
Aqui, e seriam os limites de integração correspondentes ao intervalo original da soma. Se a soma vai até o infinito, então tende ao infinito.

Passo 4

Agora, estamos diante de uma integral da forma Ci(x) = -integralx^infty cos(t)t , dt . Essa integral é conhecida e está relacionada à função chamada Integral Cosseno (denotada como ). A Integral Cosseno é definida como:
Então, nossa integral pode ser expressa em termos dessa função especial.

Passo 5

Finalmente, substituindo na nossa expressão original, temos:
limn infty sumi=1^infty cos (xi)xi De
Onde seria o ponto inicial do intervalo de integração.

Resposta

O limite da soma é igual à Integral Cosseno de Ci(a) :

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