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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o limite de uma soma infinita que envolve a função cosseno. Estamos lidando com cálculo, especificamente com séries e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma soma em uma integral usando o conceito de soma de Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão:
Aqui,
representa um intervalo muito pequeno, e
são os pontos onde a função é avaliada. Quando
tende ao infinito,
tende a zero, e a soma se aproxima de uma integral.
Passo 3
O próximo passo é reconhecer que essa soma de Riemann se transforma em uma integral definida. Assim, podemos reescrever o limite como uma integral:
Aqui,
e
seriam os limites de integração correspondentes ao intervalo original da soma. Se a soma vai até o infinito, então
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, estamos diante de uma integral da forma
. Essa integral é conhecida e está relacionada à função chamada Integral Cosseno (denotada como
). A Integral Cosseno é definida como:
Então, nossa integral pode ser expressa em termos dessa função especial.
Passo 5
Finalmente, substituindo na nossa expressão original, temos:
Onde
seria o ponto inicial do intervalo de integração.
Resposta
O limite da soma é igual à Integral Cosseno de
:
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