Mostre que se U e V são espaços vetoriais de dimensão finita tais que dim U=dim V e se T in L(U, V) então as seguintes condições são equivalentes:
(d) T leva bases de U em bases de V.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem dois espaços vetoriais, e , com dimensões finitas e iguais, ou seja, . Temos uma transformação linear que vai de para . A condição que vamos analisar é: leva bases de em bases de . O conteúdo envolvido aqui inclui conceitos de espaço vetorial, transformações lineares, bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Agora, o que significa levar uma base de em uma base de ? Quer dizer que se você pega uma base qualquer de e aplica em cada vetor dessa base, o conjunto resultante é uma base de .

Passo 4

Vamos lembrar que, se leva uma base de em uma base de , então é injetora. Isso porque os vetores originais eram linearmente independentes, e a imagem deles sob também precisa ser linearmente independente para formar uma base.

Passo 5

Como e é injetora, então também é sobretora. Basicamente, se a transformação linear é injetora entre espaços de mesma dimensão, ela automaticamente cobre todo o espaço de chegada.

Passo 6

Então, se é injetora e sobrejetora, isso significa que é uma isomorfismo. Ou seja, há uma correspondência bi-direcional perfeita entre e .

Passo 7

Resumindo, mostramos que se leva bases de em bases de , então é injetora e sobrejetora, ou seja, é um isomorfismo. E, pelo contrário, se é um isomorfismo, ele leva bases de em bases de .

Resposta

Portanto, se e são espaços vetoriais de mesma dimensão e , então leva bases de em bases de se, e somente se, é um isomorfismo.

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