Mostre que se
e
são espaços vetoriais de dimensão finita tais que
e se
então as seguintes condições são equivalentes:
(d)
leva bases de
em bases de
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem dois espaços vetoriais,
e
, com dimensões finitas e iguais, ou seja,
. Temos uma transformação linear
que vai de
para
. A condição que vamos analisar é:
leva bases de
em bases de
. O conteúdo envolvido aqui inclui conceitos de espaço vetorial, transformações lineares, bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, o que significa
levar uma base de
em uma base de
? Quer dizer que se você pega uma base qualquer de
e aplica
em cada vetor dessa base, o conjunto resultante é uma base de
.
Passo 4
Vamos lembrar que, se
leva uma base de
em uma base de
, então
é injetora. Isso porque os vetores originais eram linearmente independentes, e a imagem deles sob
também precisa ser linearmente independente para formar uma base.
Passo 5
Como
e
é injetora, então
também é sobretora. Basicamente, se a transformação linear é injetora entre espaços de mesma dimensão, ela automaticamente cobre todo o espaço de chegada.
Passo 6
Então, se
é injetora e sobrejetora, isso significa que
é uma isomorfismo. Ou seja, há uma correspondência bi-direcional perfeita entre
e
.
Passo 7
Resumindo, mostramos que se
leva bases de
em bases de
, então
é injetora e sobrejetora, ou seja, é um isomorfismo. E, pelo contrário, se
é um isomorfismo, ele leva bases de
em bases de
.
Resposta
Portanto, se
e
são espaços vetoriais de mesma dimensão e
, então
leva bases de
em bases de
se, e somente se,
é um isomorfismo.