Seja f:[-1,2] R contínua. Defina a sequência de funções
fn(x)=n2 integralx-1n^x+1n f(t) d t, para todo x in[0,1] e todo n in N
Mostre que:
(II) A sequência (fn) converge para f uniformemente em [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é contínua no intervalo . A questão define uma sequência de funções que envolve uma integral de em torno de cada ponto no intervalo . O objetivo aqui é mostrar que, conforme cresce, se aproxima de de maneira uniforme em todo o intervalo .
Aqui, vamos precisar entender de conceitos de \emph{convergência uniforme} e como a continuidade da função nos ajuda nessa prova. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a definição de fn(x) = n2 integralx - 1n^x + 1n f(t) , dt para ficar mais claro:
O que essa expressão faz é calcular a média de em um pequeno intervalo em torno de com largura . Quando aumenta, esse intervalo fica cada vez menor, o que sugere que deve se aproximar de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar de um conceito importante: convergência uniforme. Dizemos que |fn(x) - f(x)| < varepsilon converge uniformemente para em se, para qualquer , existe um número tal que para todo e para todo , a desigualdade
seja verdadeira.
Como é contínua em , ela é uniformemente contínua em . Isso significa que, para qualquer , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos usar a uniform continuidade de fn(x) = n2 integralx - 1n^x + 1n f(t) , dt para controlar a diferença |fn(x) - f(x)| = | n2 integralx - 1n^x + 1n f(t) , dt - f(x) | <= n2 integralx - 1n^x + 1n |f(t) - f(x)| , dt < n2 cdot 2n cdot varepsilon = varepsilon . Observemos que:
Essa expressão é basicamente a média de no intervalo . Como é contínua, quanto menor for o intervalo, mais estará próximo de .
Para tornar isso mais formal, dado , como é uniformemente contínua, existe tal que para todo , o comprimento do intervalo . Assim, para todo no intervalo de integração, temos .
Isso implica que:
Isso mostra que para todo , a diferença é menor que para todo .

Resposta

Portanto, a sequência de funções converge uniformemente para em .

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