Mostre que:
(II) A sequência converge para uniformemente em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é contínua no intervalo . A questão define uma sequência de funções que envolve uma integral de em torno de cada ponto no intervalo . O objetivo aqui é mostrar que, conforme cresce, se aproxima de de maneira uniforme em todo o intervalo .
Aqui, vamos precisar entender de conceitos de \emph{convergência uniforme} e como a continuidade da função nos ajuda nessa prova. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a definição de para ficar mais claro:
O que essa expressão faz é calcular a média de em um pequeno intervalo em torno de com largura . Quando aumenta, esse intervalo fica cada vez menor, o que sugere que deve se aproximar de .
Passo 3
Agora, vamos lembrar de um conceito importante: convergência uniforme. Dizemos que converge uniformemente para em se, para qualquer , existe um número tal que para todo e para todo , a desigualdade
seja verdadeira.
Como é contínua em , ela é uniformemente contínua em . Isso significa que, para qualquer , existe um tal que se , então .
Passo 4
Vamos usar a uniform continuidade de para controlar a diferença . Observemos que:
Essa expressão é basicamente a média de no intervalo . Como é contínua, quanto menor for o intervalo, mais estará próximo de .
Para tornar isso mais formal, dado , como é uniformemente contínua, existe tal que para todo , o comprimento do intervalo . Assim, para todo no intervalo de integração, temos .
Isso implica que:
Isso mostra que para todo , a diferença é menor que para todo .
Resposta
Portanto, a sequência de funções converge uniformemente para em .