Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.

Equação Diferencial Ordinária

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Classificação

( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) pra analisar:

O objetivo é identificar de que tipo essa equação é, entre as opções: separável, homogênea, exata, linear ou Bernoulli. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada tipo e ver qual se encaixa melhor nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a análise:

Aqui, a gente reescreveu o denominador como .

Passo 3

Vamos verificar se a equação é separável. Uma EDO é separável se a gente consegue escrever toda a parte que envolve de um lado e a que envolve do outro. Olhando para a equação:

A gente consegue separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e :
Assim, a equação é separável.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma EDO é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando a gente considera e . Na expressão:

O numerador tem grau 1 ( ) e o denominador tem grau 1 em e grau 2 em , totalizando graus diferentes. Portanto, não é homogênea.

Passo 5

Vamos ver se a equação é exata. Para uma EDO ser exata, ela precisa estar na forma , e deve satisfazer a condição . Nossa equação não está nessa forma nem satisfaz essa condição, então não é exata.

Passo 6

Avaliar se é uma equação linear. Uma EDO é linear se pode ser escrita como . Vamos tentar rearranjar:

Multiplicando ambos os lados por :
Isso não se encaixa na forma linear padrão, então não é linear.

Passo 7

Por último, vamos verificar se é uma equação de Bernoulli. Uma EDO de Bernoulli tem a forma . Nossa equação pode ser reescrita como:

Aqui, vemos que , o que confirma que é uma equação de Bernoulli.

Resposta

A equação diferencial dada é uma Equação de Bernoulli.

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Indique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas e justifique suas respostas.
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Classifique as afirmativas abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F). Caso você classifique como falsa a afirmativa, deduza a contradição no enunciado ou mostre um contraexemplo onde a afirmativa se prova falsa. Caso você classifique como verdadeira a afirmativa, justifique sua resposta com teoria. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Suponha que uma indústria concorrencial está em equilíbrio de longo prazo. Se houver uma expansão da demanda agregada, então no novo equilíbrio de longo prazo o preço será maior.
Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.

Equação Diferencial Ordinária

(d)

Classificação

( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Considere a equação diferencial . Verifique se é solução dessa EDO.