Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.

Equação Diferencial Ordinária

© dy/dx = 2x / (y + x^2 y)

Classificação

( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) pra analisar:

O objetivo é identificar de que tipo essa equação é, entre as opções: separável, homogênea, exata, linear ou Bernoulli. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada tipo e ver qual se encaixa melhor nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a análise:

Aqui, a gente reescreveu o denominador como .

Passo 3

Vamos verificar se a equação é separável. Uma EDO é separável se a gente consegue escrever toda a parte que envolve y de um lado e a que envolve x do outro. Olhando para a equação:

A gente consegue separar as variáveis multiplicando ambos os lados por y e :
Assim, a equação é separável.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma EDO é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando a gente considera y e x. Na expressão:

O numerador tem grau 1 ( x) e o denominador tem grau 1 em y e grau 2 em x, totalizando graus diferentes. Portanto, não é homogênea.

Passo 5

Vamos ver se a equação é exata. Para uma EDO ser exata, ela precisa estar na forma , e deve satisfazer a condição . Nossa equação não está nessa forma nem satisfaz essa condição, então não é exata.

Passo 6

Avaliar se é uma equação linear. Uma EDO é linear se pode ser escrita como . Vamos tentar rearranjar:

Multiplicando ambos os lados por :
Isso não se encaixa na forma linear padrão, então não é linear.

Passo 7

Por último, vamos verificar se é uma equação de Bernoulli. Uma EDO de Bernoulli tem a forma . Nossa equação pode ser reescrita como:

Aqui, vemos que , o que confirma que é uma equação de Bernoulli.

Resposta

A equação diferencial dada é uma Equação de Bernoulli.

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