Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.
Equação Diferencial Ordinária
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Classificação
( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) pra analisar:
O objetivo é identificar de que tipo essa equação é, entre as opções: separável, homogênea, exata, linear ou Bernoulli. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada tipo e ver qual se encaixa melhor nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a análise:
Aqui, a gente reescreveu o denominador como
Passo 3
Vamos verificar se a equação é separável. Uma EDO é separável se a gente consegue escrever toda a parte que envolve
de um lado e a que envolve
do outro. Olhando para a equação:
A gente consegue separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
Assim, a equação é separável.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma EDO é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando a gente considera
e
. Na expressão:
O numerador tem grau 1 (
Passo 5
Vamos ver se a equação é exata. Para uma EDO ser exata, ela precisa estar na forma
, e deve satisfazer a condição
. Nossa equação não está nessa forma nem satisfaz essa condição, então não é exata.
Passo 6
Avaliar se é uma equação linear. Uma EDO é linear se pode ser escrita como
. Vamos tentar rearranjar:
Multiplicando ambos os lados por
Isso não se encaixa na forma linear padrão, então não é linear.
Passo 7
Por último, vamos verificar se é uma equação de Bernoulli. Uma EDO de Bernoulli tem a forma
. Nossa equação pode ser reescrita como:
Aqui, vemos que
Resposta
A equação diferencial dada é uma Equação de Bernoulli.