Indique se alternativa é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, justifiquesua resposta. Se construirmos vários intervalos de confiança para a média
com amostras de idêntico tamanho, mesma variância
e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação fala sobre construir vários intervalos de confiança para a média
usando amostras do mesmo tamanho, com a mesma variância
e a mesma margem de confiança. Diz que esses intervalos terão extremos aleatórios, mas todas terão a mesma amplitude. Vamos precisar entender o que são intervalos de confiança e como eles funcionam para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. É uma faixa de valores que, com uma certa confiança (como 95%), contém o valor verdadeiro da média
da população. A “margem de confiança” refere-se ao nível de confiança que escolhemos, como 90%, 95%, etc.
Passo 3
Agora, como construímos um intervalo de confiança? A fórmula básica é:
Aqui,
é a média da amostra,
é o valor crítico que depende do nível de confiança,
é o desvio padrão da população, e
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Observando a fórmula, notamos que a amplitude do intervalo de confiança depende de dois fatores: o valor crítico
e o erro padrão
. Se a variância
e o tamanho da amostra
são os mesmos para todas as amostras, então a amplitude do intervalo dependerá apenas do valor crítico
.
Passo 5
No entanto, a afirmação diz que todos os intervalos terão a mesma amplitude, mas isso depende se a margem de confiança (o nível de confiança) é a mesma para todas as amostras. Se a “mesma margem de confiança” significa que o nível de confiança é constante, então
também será constante, e assim a amplitude será a mesma.
Passo 6
Porém, a afirmação também menciona que os “extremos são aleatórios”. Isso faz sentido porque a média da amostra
varia de uma amostra para outra, então os extremos dos intervalos também variam aleatoriamente.
Passo 7
Portanto, se todas as amostras têm o mesmo tamanho, a mesma variância e a mesma margem de confiança, os intervalos de confiança terão amplitudes iguais, mesmo que os seus limites sejam diferentes devido às diferentes médias das amostras.
Resposta
Verdadeira. Se as amostras têm o mesmo tamanho, variância e margem de confiança, todos os intervalos de confiança terão a mesma amplitude, mesmo que seus extremos variem aleatoriamente.