Indique se alternativa é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, justifiquesua resposta. Se construirmos vários intervalos de confiança para a média mu com amostras de idêntico tamanho, mesma variância sigma^2 e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação fala sobre construir vários intervalos de confiança para a média mu usando amostras do mesmo tamanho, com a mesma variância sigma^2 e a mesma margem de confiança. Diz que esses intervalos terão extremos aleatórios, mas todas terão a mesma amplitude. Vamos precisar entender o que são intervalos de confiança e como eles funcionam para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. É uma faixa de valores que, com uma certa confiança (como 95%), contém o valor verdadeiro da média mu da população. A “margem de confiança” refere-se ao nível de confiança que escolhemos, como 90%, 95%, etc.

Passo 3

Agora, como construímos um intervalo de confiança? A fórmula básica é:
barx pm z ( sigmaraizn )
Aqui, barx é a média da amostra, z é o valor crítico que depende do nível de confiança, sigma é o desvio padrão da população, e n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Observando a fórmula, notamos que a amplitude do intervalo de confiança depende de dois fatores: o valor crítico z e o erro padrão sigmaraizn. Se a variância sigma^2 e o tamanho da amostra n são os mesmos para todas as amostras, então a amplitude do intervalo dependerá apenas do valor crítico z.

Passo 5

No entanto, a afirmação diz que todos os intervalos terão a mesma amplitude, mas isso depende se a margem de confiança (o nível de confiança) é a mesma para todas as amostras. Se a “mesma margem de confiança” significa que o nível de confiança é constante, então z também será constante, e assim a amplitude será a mesma.

Passo 6

Porém, a afirmação também menciona que os “extremos são aleatórios”. Isso faz sentido porque a média da amostra barx varia de uma amostra para outra, então os extremos dos intervalos também variam aleatoriamente.

Passo 7

Portanto, se todas as amostras têm o mesmo tamanho, a mesma variância e a mesma margem de confiança, os intervalos de confiança terão amplitudes iguais, mesmo que os seus limites sejam diferentes devido às diferentes médias das amostras.

Resposta

Verdadeira. Se as amostras têm o mesmo tamanho, variância e margem de confiança, todos os intervalos de confiança terão a mesma amplitude, mesmo que seus extremos variem aleatoriamente.

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