Determine a solução dos P.V.Is: t y' + y = t, y(10) = 20 (R: 11/6 t^(-2) + t^4/6)

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (P.V.I.) dado pela equação diferencial com a condição inicial . Aqui, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão das equações lineares, que é:
Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando, temos:
Observamos que a equação já estava na forma multiplicada pelo fator integrante, o que nos leva para o próximo passo.

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para , dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 10:

Resposta

A solução do P.V.I. é:

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