Determine a solução dos P.V.Is:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (P.V.I.) dado pela equação diferencial
com a condição inicial
. Aqui, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e o método do fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão das equações lineares, que é:
Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando, temos:
Observamos que a equação já estava na forma multiplicada pelo fator integrante, o que nos leva para o próximo passo.
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 10:
Resposta
A solução do P.V.I. é:
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