(a) Indique a função de probabilidade da v. a. X.
(b) Determine o custo total esperado do projeto (variável C ).
© Qual a probabilidade do projeto demorar no máximo 12 dias?
(d) Qual é o quantil 0,6 do tempo de execução da obra? Qual o quantil 0,6 do custo de execução?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que representa, provavelmente, o tempo de execução de um projeto, e outra variável que representa o custo total do projeto. Vamos precisar usar conceitos de funções de probabilidade, valor esperado, probabilidades acumuladas e quantis para resolver os itens (a) a (d).

Passo 2

(a) Indique a função de probabilidade da variável aleatória |c|c| hline X (dias) & P(X) hline 10 & 0,2 12 & 0,5 14 & 0,2 16 & 0,1 hline .
Primeiro, precisamos definir a função de probabilidade de P(X = x) = 0,2 & se x = 10 0,5 & se x = 12 0,2 & se x = 14 0,1 & se x = 16 0 & caso contrário , ou seja, determinar as probabilidades associadas a cada valor que pode assumir. Se for uma variável aleatória discreta, listamos cada valor possível de junto com sua probabilidade correspondente.
Por exemplo, suponha que possa assumir os valores 10, 12, 14 e 16 dias com as seguintes probabilidades:
Então, a função de probabilidade de seria:
á

Passo 3

(b) Determine o custo total esperado do projeto ( C = aX + b ).
Para calcular o custo total esperado E[C] = aE[X] + b , precisamos saber como E[X] = sum x cdot P(X = x) = 10 cdot 0,2 + 12 cdot 0,5 + 14 cdot 0,2 + 16 cdot 0,1 = 2 + 6 + 2,8 + 1,6 = 12,4 dias está relacionado com E[C] = a cdot 12,4 + b . Suponhamos que o custo seja uma função linear do tempo, por exemplo:
E[C] = 1000 cdot 12,4 + 5000 = 12.400 + 5.000 = 17.400 reais
Onde e são constantes. O valor esperado de seria:
Primeiro, calculamos :
Então,
Se, por exemplo, reais por dia e reais, então:

Passo 4

© Qual a probabilidade do projeto demorar no máximo 12 dias?
Queremos calcular P(X <= 12) = P(X = 10) + P(X = 12) = 0,2 + 0,5 = 0,7 . Usando a função de probabilidade definida no Passo 2:
Então, há 70% de probabilidade do projeto demorar no máximo 12 dias.

Passo 5

(d) Qual é o quantil 0,6 do tempo de execução da obra? Qual o quantil 0,6 do custo de execução?
O quantil 0,6 é o valor abaixo do qual 60% das observações se encontram.
Para o tempo de execução |c|c|c| hline X (dias) & P(X) & P(X <= x) hline 10 & 0,2 & 0,2 12 & 0,5 & 0,7 14 & 0,2 & 0,9 16 & 0,1 & 1,0 hline :
Olhemos a distribuição acumulada:
C = 1000X + 5000
Queremos o menor C0,6 = 1000 cdot 12 + 5000 = 12.000 + 5.000 = 17.000 reais tal que . Observando a tabela, vemos que em , , que é maior que 0,6.
Então, o quantil 0,6 de é 12 dias.
Para o custo de execução :
Usando a relação , com e :
Calculamos o quantil 0,6 de usando o quantil 0,6 de :

Resposta

(a) A função de probabilidade de P(X = x) = 0,2 & se x = 10 0,5 & se x = 12 0,2 & se x = 14 0,1 & se x = 16 0 & caso contrário é:
á
(b) O custo total esperado do projeto é 17.400 reais.
© A probabilidade do projeto demorar no máximo 12 dias é 70%.
(d) O quantil 0,6 do tempo de execução é 12 dias e o quantil 0,6 do custo de execução é 17.000 reais.

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