a) Qual a probabilidade de se encontrar, num lote de 20 peças, no máximo 18 peças sem nenhum defeito?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote de 20 peças, e queremos descobrir a probabilidade de encontrar, no máximo, 18 peças sem nenhum defeito. Isso envolve o conteúdo de probabilidade e distribuição binomial, já que estamos lidando com sucessos (peças sem defeito) e falhas (peças com defeito) em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Vamos chamar a probabilidade de uma peça não ter defeito de p + q = 1 e a probabilidade de ter defeito de . Supondo que todas as peças tenham a mesma probabilidade de serem boas ou defeituosas, temos:
No entanto, como não foi fornecida a probabilidade de uma peça ser defeituosa, vamos considerar que a chance de uma peça ser sem defeito é . Para calcular a probabilidade de ter no máximo 18 peças sem defeito em um lote de 20, usamos a distribuição binomial.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o número total de peças.
  • é o número de peças sem defeito.
  • é o número de combinações de itens tomados a .

Passo 4

Queremos a probabilidade de no máximo 18 peças sem defeito, ou seja, P(X <= 18) = sumk=0^18 binom20k p^k (1-p)^20-k . Isso é a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2, …, até 18 peças sem defeito:

Passo 5

Sem o valor específico de , não podemos calcular um número exato. Porém, a expressão acima representa a probabilidade procurada. Se conhecermos , podemos substituir na fórmula e calcular a soma para obter a resposta final.

Resposta

A probabilidade de encontrar, no máximo, 18 peças sem nenhum defeito em um lote de 20 peças é dada por:
P(X <= 18) = sumk=0^18 binom20k p^k (1-p)^20-k

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