Indique, com limites de integração, três integrais (diferentes) que calculam
, onde
e
é a parte do parabolóide
, localizada abaixo do plano
, orientado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa encontrar três integrais diferentes para calcular
, onde
. A superfície
é a parte do parabolóide
que está abaixo do plano
e é orientada para cima (ou seja,
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície, e precisamos determinar os limites de integração para três diferentes formas de parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de
, ou
. O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo vetorial gira em torno de um ponto. Para calcular
, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a superfície
. Como
é parte do parabolóide
abaixo de
, os limites para
e
irão depender de
.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que o parabolóide tem simetria circular. Em coordenadas polares,
e
, então
. Como
, temos
ou
.
A normal à superfície, orientada para cima, em coordenadas polares, é dada por
.
Passo 4
Com isso em mente, vamos montar a integral dupla usando coordenadas polares. A integral fica:
Essa é uma das maneiras de configurar os limites de integração.
Passo 5
Agora, vamos pensar em outra forma de parametrizar a superfície
. Podemos usar coordenadas cartesianas. Nesse caso, para cada
,
,
está definido por
, e
.
Então, os limites de integração seriam:
Essa é a segunda forma com limites de integração em coordenadas cartesianas.
Passo 6
Finalmente, podemos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar
. Em coordenadas cilíndricas, temos
,
e
. Os limites são
e
.
A integral dupla fica:
Essa é a terceira forma de definir os limites de integração usando coordenadas cilíndricas.
Resposta
As três integrais com seus respectivos limites de integração são:
- Coordenadas Polares:
- Coordenadas Cartesianas:
- Coordenadas Cilíndricas:
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Considere os campos
e
(11.1) Mostre que e
são campos irrotacionais e determine a função potencial de
e
(11.2) Calcule e
, sendo
uma curva ligando o ponto
ao ponto
, e
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ao ponto
(11.1) Mostre que
(11.2) Calcule
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