Indique, com limites de integração, três integrais (diferentes) que calculam integral duplaS rot(F) cdot d S, onde F= (x^2-y^2, z^2-y^2, x^2-y^2) e S é a parte do parabolóide z=x^2+y^2, localizada abaixo do plano z=4, orientado por n cdot k>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa encontrar três integrais diferentes para calcular , onde . A superfície é a parte do parabolóide que está abaixo do plano e é orientada para cima (ou seja, ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície, e precisamos determinar os limites de integração para três diferentes formas de parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de rot(F) = nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , ou F = (x^2-y^2, z^2-y^2, x^2-y^2) . O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo vetorial gira em torno de um ponto. Para calcular partial F3partial y = -2y, partial F2partial z = 2z , usamos a seguinte fórmula:
partial F1partial z = 0, partial F3partial x = 2x
Vamos calcular cada componente:
partial F2partial x = 0, partial F1partial y = -2y
Calculando as derivadas parciais:
rot(F) = (-2y - 2z, 0 - 2x, 0 - (-2y)) = (-2y - 2z, -2x, 2y)
Então,

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a superfície . Como é parte do parabolóide abaixo de , os limites para e irão depender de .
Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que o parabolóide tem simetria circular. Em coordenadas polares, e , então . Como , temos ou .
A normal à superfície, orientada para cima, em coordenadas polares, é dada por .

Passo 4

Com isso em mente, vamos montar a integral dupla usando coordenadas polares. A integral fica:
integral duplaS rot(F) cdot dS = integral0^2pi integral0^2 [ (-2rsintheta - 2r^2) cdot (-2rcostheta) + (-2rcostheta) cdot (-2rsintheta) + 2rsintheta cdot 1 ] r, dr, dtheta
Essa é uma das maneiras de configurar os limites de integração.

Passo 5

Agora, vamos pensar em outra forma de parametrizar a superfície integral duplaS rot(F) cdot dS = integral-2^2 integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 [ (-2y - 2(x^2 + y^2))(-2x) + (-2x)(-2y) + 2y ] dy, dx . Podemos usar coordenadas cartesianas. Nesse caso, para cada , , está definido por , e .
Então, os limites de integração seriam:
Essa é a segunda forma com limites de integração em coordenadas cartesianas.

Passo 6

Finalmente, podemos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar integral duplaS rot(F) cdot dS = integral0^2pi integral0^2 [ (-2rsintheta - 2r^2)(-2rcostheta) + (-2rcostheta)(-2rsintheta) + 2rsintheta ] r, dr, dtheta . Em coordenadas cilíndricas, temos , e . Os limites são e .
A integral dupla fica:
Essa é a terceira forma de definir os limites de integração usando coordenadas cilíndricas.

Resposta

As três integrais com seus respectivos limites de integração são:
  1. Coordenadas Polares:
integral0^2pi integral0^2 [ (-2rsintheta - 2r^2)(-2rcostheta) + (-2rcostheta)(-2rsintheta) + 2rsintheta ] r, dr, dtheta
  1. Coordenadas Cartesianas:
integral-2^2 integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 [ (-2y - 2(x^2 + y^2))(-2x) + (-2x)(-2y) + 2y ] dy, dx
  1. Coordenadas Cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 [ (-2rsintheta - 2r^2)(-2rcostheta) + (-2rcostheta)(-2rsintheta) + 2rsintheta ] r, dr, dtheta

Exercícios relacionados