Indique, com limites de integração, três integrais (diferentes) que calculam , onde e é a parte do parabolóide , localizada abaixo do plano , orientado por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa encontrar três integrais diferentes para calcular , onde . A superfície é a parte do parabolóide que está abaixo do plano e é orientada para cima (ou seja, ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície, e precisamos determinar os limites de integração para três diferentes formas de parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de , ou . O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo vetorial gira em torno de um ponto. Para calcular , usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a superfície . Como é parte do parabolóide abaixo de , os limites para e irão depender de .
Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que o parabolóide tem simetria circular. Em coordenadas polares, e , então . Como , temos ou .
A normal à superfície, orientada para cima, em coordenadas polares, é dada por .

Passo 4

Com isso em mente, vamos montar a integral dupla usando coordenadas polares. A integral fica:
Essa é uma das maneiras de configurar os limites de integração.

Passo 5

Agora, vamos pensar em outra forma de parametrizar a superfície . Podemos usar coordenadas cartesianas. Nesse caso, para cada , , está definido por , e .
Então, os limites de integração seriam:
Essa é a segunda forma com limites de integração em coordenadas cartesianas.

Passo 6

Finalmente, podemos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar . Em coordenadas cilíndricas, temos , e . Os limites são e .
A integral dupla fica:
Essa é a terceira forma de definir os limites de integração usando coordenadas cilíndricas.

Resposta

As três integrais com seus respectivos limites de integração são:
  1. Coordenadas Polares:
  1. Coordenadas Cartesianas:
  1. Coordenadas Cilíndricas:

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