Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{(3 n! + e^(2 n)) / (5 n! - e^(n))}_{n ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência {(3 n! + e^(2 n)) / (5 n! - e^(n))}_{n ≥ 1} converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e comparar o crescimento de funções matemáticas como fatorial ( ) e exponenciais ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos que compõem a sequência. No numerador temos e no denominador . Nosso objetivo é entender qual desses termos é o mais “forte” quando n fica muito grande. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, é importante saber quais funções crescem mais rápido à medida que n aumenta. Sabemos que fatoriais, como , crescem muito mais rápido do que exponenciais como . Na verdade, cresce mais rápido que qualquer exponencial do tipo onde a é uma constante.

Passo 4

Com essa informação, podemos simplificar a nossa sequência focando nos termos que crescem mais rápido. No numerador, vai dominar o porque cresce mais rápido. No denominador, domina o pelo mesmo motivo.
Então, a gente tem aproximadamente:

Passo 5

Agora, simplificamos a fração dos fatoriais:
Isso porque os cancelam e sobra apenas a razão entre os coeficientes.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 3/5.

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