Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e comparar o crescimento de funções matemáticas como fatorial (
) e exponenciais (
).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos que compõem a sequência. No numerador temos
e no denominador
. Nosso objetivo é entender qual desses termos é o mais “forte” quando
fica muito grande. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão.
Passo 3
Agora, é importante saber quais funções crescem mais rápido à medida que
aumenta. Sabemos que fatoriais, como
, crescem muito mais rápido do que exponenciais como
. Na verdade,
cresce mais rápido que qualquer exponencial do tipo
onde
é uma constante.
Passo 4
Com essa informação, podemos simplificar a nossa sequência focando nos termos que crescem mais rápido. No numerador,
vai dominar o
porque
cresce mais rápido. No denominador,
domina o
pelo mesmo motivo.
Então, a gente tem aproximadamente:
Passo 5
Agora, simplificamos a fração dos fatoriais:
Isso porque os
cancelam e sobra apenas a razão entre os coeficientes.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.
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Indique, com limites de integração, três integrais (diferentes) que calculam
, onde
e
é a parte do parabolóide
, localizada abaixo do plano
, orientado por
.
Considere o campo
. Use o teorema de Gauss para calcular:
(14.1) A integral de sobre a superfície cúbica determinada pelos palnos
,
e
(14.2) O fluxo de , sendo
a superfície fechada composta pelas superfícies
e
(14.1) A integral de
(14.2) O fluxo de
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.