Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{ln(n)/(n^(1/k))}_{n ≥ 1}, k ∈ N

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo de Limites e propriedades das funções logarítmicas e potenciais. Vamos precisar entender como o logaritmo cresce em relação a potências de n.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência quando n tende ao infinito. Temos que:
Queremos ver se esse limite existe e qual é o valor dele.

Passo 3

Sabemos que a função logarítmica cresce mais lentamente que qualquer função potência de n. Isso significa que, para grandes valores de n, cresce muito mais rápido que . Portanto, intuitivamente, o denominador está “dominando” o numerador.

Passo 4

Para confirmar essa intuição, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites do tipo . Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a n:
Derivada de em relação a n é 1/n.
Derivada de em relação a n é .

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital:

Passo 6

Agora, analisamos o novo limite:
À medida que n cresce, também cresce sem limites, tornando o denominador muito grande. Assim, o limite dessa fração tende a zero.

Passo 7

Portanto, concluímos que:
Isso significa que a sequência é convergente e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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