Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo de Limites e propriedades das funções logarítmicas e potenciais. Vamos precisar entender como o logaritmo cresce em relação a potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência quando
tende ao infinito. Temos que:
Queremos ver se esse limite existe e qual é o valor dele.
Passo 3
Sabemos que a função logarítmica
cresce mais lentamente que qualquer função potência de
. Isso significa que, para grandes valores de
,
cresce muito mais rápido que
. Portanto, intuitivamente, o denominador está “dominando” o numerador.
Passo 4
Para confirmar essa intuição, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites do tipo
. Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada de
em relação a
é
.
Derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 6
Agora, analisamos o novo limite:
À medida que
cresce,
também cresce sem limites, tornando o denominador muito grande. Assim, o limite dessa fração tende a zero.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
Isso significa que a sequência é convergente e seu limite é 0.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Indique, com limites de integração, três integrais (diferentes) que calculam
, onde
e
é a parte do parabolóide
, localizada abaixo do plano
, orientado por
.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Considere o campo
. Use o teorema de Gauss para calcular:
(14.1) A integral de sobre a superfície cúbica determinada pelos palnos
,
e
(14.2) O fluxo de , sendo
a superfície fechada composta pelas superfícies
e
(14.1) A integral de
(14.2) O fluxo de