Considere os campos e
(11.1) Mostre que e são campos irrotacionais e determine a função potencial de e
(11.2) Calcule e , sendo uma curva ligando o ponto ao ponto , e uma curva ligando o ponto ao ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
  1. (11.1) Mostrar que os campos vetoriais e são irrotacionais e encontrar suas funções potenciais.
  2. (11.2) Calcular as integrais de linha e .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e funções potenciais. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Parte (11.1): Mostrar que e são campos irrotacionais
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser irrotacional. Um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional é zero, ou seja:
Vamos calcular o rotacional de e para verificar isso.

Passo 3

Calculando o rotacional de
Dado .
O rotacional de é:
Onde , , e .
Calculando cada termo:
Substituindo:
Então, o rotacional de é zero.

Passo 4

Calculando o rotacional de
Agora, .
Usando a mesma fórmula:
Onde , , e .
Calculando cada termo:
Substituindo:
Então, o rotacional de também é zero.

Passo 5

Conclusão da Parte (11.1)
Como ambos os rotacionais são zero, e são campos irrotacionais. Agora, vamos encontrar suas funções potenciais.

Passo 6

Encontrando a função potencial de
Uma função potencial para satisfaz:
Ou seja,
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda componente de :
Isso implica que:
Atualizamos :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à terceira componente de :
Então:
Finalmente, a função potencial de é:
Podemos ignorar a constante , então:

Passo 7

Encontrando a função potencial de
Agora, fazemos o mesmo para .
Buscamos uma função tal que:
Ou seja,
Integrando a primeira equação em relação a :
Derivando em relação a e igualando à segunda componente de :
Agora, fica:
Derivando em relação a e igualando à terceira componente de :
Portanto, a função potencial de é:
Ignorando a constante :

Passo 8

Parte (11.2): Calcular e
Como e são campos irrotacionais (conservativos), as integrais de linha dependem apenas dos pontos inicial e final. Ou seja:
Vamos usar as funções potenciais que encontramos.

Passo 9

Calculando
Pontos:
Usando a função potencial de :
Calculamos :

Passo 10

Calculando
Pontos:
Usando a função potencial de :
Calculamos :

Resposta

  1. (11.1) Os campos vetoriais e são irrotacionais. Suas funções potenciais são:
  2. (11.2) As integrais de linha são:

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Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Enumerativa:
Predicativa: é
Descreva os conjuntos abaixo na forma construtiva (atenção, as respostas ao final da lista não são necessariamente as únicas possíveis, embora sejam de certo modo
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Indique, com limites de integração, três integrais (diferentes) que calculam , onde e é a parte do parabolóide , localizada abaixo do plano , orientado por .