Considere os campos F=(x^2-y z, y^2-x z, z^2-x y) e G=(y+z, x+z, x+y)
(11.1) Mostre que F e G são campos irrotacionais e determine a função potencial de F e G
(11.2) Calcule integralC1 F cdot d r e integralC2 G cdot d r, sendo C1 uma curva ligando o ponto A=(3,0,0) ao ponto B=(0,4,0), e C2 uma curva ligando o ponto C=(1,2,0) ao ponto D=(0,0,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
  1. (11.1) Mostrar que os campos vetoriais e são irrotacionais e encontrar suas funções potenciais.
  2. (11.2) Calcular as integrais de linha e .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e funções potenciais. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Parte (11.1): Mostrar que nabla times V = 0 e são campos irrotacionais
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser irrotacional. Um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional é zero, ou seja:
Vamos calcular o rotacional de e para verificar isso.

Passo 3

Calculando o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, , partial Ppartial z - partial Rpartial x, , partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Dado nabla times F = (-x - (-x),, -y - (-y),, -z - (-z)) = (0, 0, 0) .
O rotacional de é:
Onde , , e .
Calculando cada termo:
Substituindo:
Então, o rotacional de é zero.

Passo 4

Calculando o rotacional de nabla times G = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, , partial Ppartial z - partial Rpartial x, , partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Agora, nabla times G = (1 - 1,, 1 - 1,, 1 - 1) = (0, 0, 0) .
Usando a mesma fórmula:
Onde , , e .
Calculando cada termo:
Substituindo:
Então, o rotacional de também é zero.

Passo 5

Conclusão da Parte (11.1)
Como ambos os rotacionais são zero, e são campos irrotacionais. Agora, vamos encontrar suas funções potenciais.

Passo 6

Encontrando a função potencial de F = nabla phi
Uma função potencial partial phipartial x = x^2 - y z partial phipartial y = y^2 - x z partial phipartial z = z^2 - x y para phi(x, y, z) = integral (x^2 - y z) , dx = x^33 - y z x + h(y, z) satisfaz:
partial phipartial y = -z x + partial hpartial y = y^2 - x z
Ou seja,
partial hpartial y = y^2 h(y, z) = y^33 + g(z)
Vamos integrar a primeira equação em relação a phi(x, y, z) = x^33 - y z x + y^33 + g(z) :
partial phipartial z = -y x + d gd z = z^2 - x y
Agora, derivamos d gd z = z^2 g(z) = z^33 + C em relação a phi(x, y, z) = x^33 + y^33 + z^33 - x y z + C e igualamos à segunda componente de phi(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^33 - x y z :
Isso implica que:
Atualizamos :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à terceira componente de :
Então:
Finalmente, a função potencial de é:
Podemos ignorar a constante , então:

Passo 7

Encontrando a função potencial de G = nabla psi
Agora, fazemos o mesmo para partial psipartial x = y + z partial psipartial y = x + z partial psipartial z = x + y .
Buscamos uma função psi(x, y, z) = integral (y + z) , dx = y x + z x + h(y, z) tal que:
partial psipartial y = x + partial hpartial y = x + z Rightarrow partial hpartial y = z Rightarrow h(y, z) = z y + g(z)
Ou seja,
psi(x, y, z) = y x + z x + z y + g(z)
Integrando a primeira equação em relação a partial psipartial z = x + y + d gd z = x + y Rightarrow d gd z = 0 Rightarrow g(z) = C :
psi(x, y, z) = x y + x z + y z + C
Derivando psi(x, y, z) = x y + x z + y z em relação a e igualando à segunda componente de :
Agora, fica:
Derivando em relação a e igualando à terceira componente de :
Portanto, a função potencial de é:
Ignorando a constante :

Passo 8

Parte (11.2): Calcular integralC nabla phi cdot dr = phi(final) - phi(inicial) e
Como e são campos irrotacionais (conservativos), as integrais de linha dependem apenas dos pontos inicial e final. Ou seja:
Vamos usar as funções potenciais que encontramos.

Passo 9

Calculando phi(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^33 - x y z
Pontos:
  • phi(B) = 0^3 + 4^3 + 0^33 - 0 cdot 4 cdot 0 = 643 phi(A) = 3^3 + 0^3 + 0^33 - 3 cdot 0 cdot 0 = 273 = 9 Rightarrow integralC1 F cdot dr = 643 - 9 = 643 - 273 = 373
Usando a função potencial de :
Calculamos :

Passo 10

Calculando psi(x, y, z) = x y + x z + y z
Pontos:
  • psi(D) = 0 cdot 0 + 0 cdot 5 + 0 cdot 5 = 0 psi(C) = 1 cdot 2 + 1 cdot 0 + 2 cdot 0 = 2 Rightarrow integralC2 G cdot dr = 0 - 2 = -2
Usando a função potencial de :
Calculamos :

Resposta

  1. (11.1) Os campos vetoriais phi(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^33 - x y z e psi(x, y, z) = x y + x z + y z são irrotacionais. Suas funções potenciais são:
    integralC1 F cdot dr = 373
    integralC2 G cdot dr = -2
  2. (11.2) As integrais de linha são:

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