Considere os campos
e
(11.1) Mostre que
e
são campos irrotacionais e determine a função potencial de
e
(11.2) Calcule
e
, sendo
uma curva ligando o ponto
ao ponto
, e
uma curva ligando o ponto
ao ponto
(11.1) Mostre que
(11.2) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
- (11.1) Mostrar que os campos vetoriais
e são irrotacionais e encontrar suas funções potenciais. - (11.2) Calcular as integrais de linha
e .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e funções potenciais. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!
Passo 2
Parte (11.1): Mostrar que
e
são campos irrotacionais
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser irrotacional. Um campo vetorial
é irrotacional se o seu rotacional é zero, ou seja:
Vamos calcular o rotacional de
e
para verificar isso.
Passo 3
Calculando o rotacional de
Dado
.
O rotacional de
é:
Onde
,
, e
.
Calculando cada termo:
Substituindo:
Então, o rotacional de
é zero.
Passo 4
Calculando o rotacional de
Agora,
.
Usando a mesma fórmula:
Onde
,
, e
.
Calculando cada termo:
Substituindo:
Então, o rotacional de
também é zero.
Passo 5
Conclusão da Parte (11.1)
Como ambos os rotacionais são zero,
e
são campos irrotacionais. Agora, vamos encontrar suas funções potenciais.
Passo 6
Encontrando a função potencial de
Uma função potencial
para
satisfaz:
Ou seja,
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda componente de
:
Isso implica que:
Atualizamos
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à terceira componente de
:
Então:
Finalmente, a função potencial de
é:
Podemos ignorar a constante
, então:
Passo 7
Encontrando a função potencial de
Agora, fazemos o mesmo para
.
Buscamos uma função
tal que:
Ou seja,
Integrando a primeira equação em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando à segunda componente de
:
Agora,
fica:
Derivando
em relação a
e igualando à terceira componente de
:
Portanto, a função potencial de
é:
Ignorando a constante
:
Passo 8
Parte (11.2): Calcular
e
Como
e
são campos irrotacionais (conservativos), as integrais de linha dependem apenas dos pontos inicial e final. Ou seja:
Vamos usar as funções potenciais que encontramos.
Passo 9
Calculando
Pontos:
Usando a função potencial de
:
Calculamos
:
Passo 10
Calculando
Pontos:
Usando a função potencial de
:
Calculamos
:
Resposta
-
(11.1) Os campos vetoriais
e são irrotacionais. Suas funções potenciais são: -
(11.2) As integrais de linha são:
Exercícios relacionados
Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Enumerativa:
Predicativa:
Formatos: Enumerativa:
Predicativa:
Descreva os conjuntos abaixo na forma construtiva (atenção, as respostas ao final da lista não são necessariamente as únicas possíveis, embora sejam de certo modo
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Indique, com limites de integração, três integrais (diferentes) que calculam
, onde
e
é a parte do parabolóide
, localizada abaixo do plano
, orientado por
.