Um indivíduo aplicou um capital por três períodos consecutivos de um ano. No primeiro ano, ele investiu em uma instituição financeira que remunerou seu capital a uma taxa anual de
, obtendo um montante de R$ 3024,00. Em cada um dos anos seguintes, ele buscou a instituição financeira que oferecesse as melhores condições para investir o montante obtido no ano anterior.
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
- O capital aplicado inicialmente foi de
.
- Os montantes obtidos ao final de cada período de um ano formam uma progressão geométrica se, e somente se, as taxas de juros anuais dos dois últimos anos forem iguais.
- Se, em comparação com o primeiro ano, a taxa anual de juros do segundo ano foi o dobro, então o rendimento anual também dobrou.
- Se a taxa de juros anual dos dois últimos anos foi igual a 30%, o capital acumulado ao final do terceiro ano foi de
.
- Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e terceiro anos foram, respectivamente, de
e
, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa de juros anual fosse constante e igual a
.
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está nos dizendo. Um indivíduo investiu um capital durante três anos. No primeiro ano, ele colocou seu dinheiro em uma instituição que deu 20% de juros anuais, resultando em um montante de R$ 3.024,00. Nos anos seguintes, ele sempre escolheu a melhor opção disponível para investir o dinheiro que tinha no ano anterior. A matéria envolvida aqui é de Juros Simples e Compostos, e para resolver vamos precisar usar fórmulas de juros compostos e entender um pouquinho sobre progressões geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual foi o capital inicial que ele investiu no primeiro ano. Sabemos que depois de um ano com 20% de juros, ele teve R$ 3.024,00. A fórmula dos juros compostos é:
Onde:
-
é o montante final, -
é o capital inicial, -
é a taxa de juros, -
é o número de períodos.
Aqui,
,
, e
.
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Substituindo os valores:
Então, o capital inicial foi de R$ 2.520,00.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma das afirmações:
1. O capital aplicado inicialmente foi de R$ 2.520,00.
Acertou! Como calculamos no passo anterior, o capital inicial realmente foi de R$ 2.520,00.
2. Os montantes obtidos ao final de cada período de um ano formam uma progressão geométrica se, e somente se, as taxas de juros anuais dos dois últimos anos forem iguais.
Uma progressão geométrica (PG) ocorre quando cada termo é multiplicado por uma razão constante para chegar ao próximo termo. No contexto dos montantes, isso só acontece se as taxas de juros nos dois últimos anos forem iguais, mantendo a razão constante. Então, essa afirmação é verdadeira.
3. Se, em comparação com o primeiro ano, a taxa anual de juros do segundo ano foi o dobro, então o rendimento anual também dobrou.
Aqui, se a taxa de juros dobrou, digamos de 20% para 40%, isso não significa que o rendimento dobrou, porque os juros são calculados sobre o montante acumulado. Então, essa afirmação é falsa.
4. Se a taxa de juros anual dos dois últimos anos foi igual a 30%, o capital acumulado ao final do terceiro ano foi de R$ 5.110,56.
Vamos verificar isso. No segundo ano, com 30% de juros sobre R$ 3.024,00:
No terceiro ano, mais 30% sobre R$ 3.931,20:
Então, a afirmação está correta.
5. Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e terceiro anos foram, respectivamente, de 30% e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa de juros anual fosse constante e igual a 20%.
Vamos calcular ambos os cenários:
Primeiro cenário: 30% no segundo ano e 10% no terceiro.
Segundo cenário: 20% nos dois últimos anos.
Os montantes são R$ 4.324,32 e R$ 4.354,56, respectivamente. Eles não são iguais, então a afirmação é falsa.
Resposta
As afirmações 1, 2 e 4 são verdadeiras, enquanto as afirmações 3 e 5 são falsas.