Um indivíduo aplicou um capital por três períodos consecutivos de um ano. No primeiro ano, ele investiu em uma instituição financeira que remunerou seu capital a uma taxa anual de 20 %, obtendo um montante de R$ 3024,00. Em cada um dos anos seguintes, ele buscou a instituição financeira que oferecesse as melhores condições para investir o montante obtido no ano anterior.
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
  1. O capital aplicado inicialmente foi de 3024,00 Em cada um dos anos seguintes, e<= buscou a instituição financeira que oferecesse as melhores condições para investir o montante obtido no ano anterior Com base nessas informações, pode-se afirmar: 1 O capital aplicado inicialmente foi de .
  2. Os montantes obtidos ao final de cada período de um ano formam uma progressão geométrica se, e somente se, as taxas de juros anuais dos dois últimos anos forem iguais.
  3. Se, em comparação com o primeiro ano, a taxa anual de juros do segundo ano foi o dobro, então o rendimento anual também dobrou.
  4. Se a taxa de juros anual dos dois últimos anos foi igual a 30%, o capital acumulado ao final do terceiro ano foi de .
  5. Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e terceiro anos foram, respectivamente, de 2 Os montantes obtidos ao final de cada período de um ano formam uma progressão >=ométrica se, e somente se, as taxas de juros anuais dos dois ú e 5110,56, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa de juros anual fosse constante e igual a 30 %.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está nos dizendo. Um indivíduo investiu um capital durante três anos. No primeiro ano, ele colocou seu dinheiro em uma instituição que deu 20% de juros anuais, resultando em um montante de R$ 3.024,00. Nos anos seguintes, ele sempre escolheu a melhor opção disponível para investir o dinheiro que tinha no ano anterior. A matéria envolvida aqui é de Juros Simples e Compostos, e para resolver vamos precisar usar fórmulas de juros compostos e entender um pouquinho sobre progressões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual foi o capital inicial que ele investiu no primeiro ano. Sabemos que depois de um ano com 20% de juros, ele teve R$ 3.024,00. A fórmula dos juros compostos é:
3.024,00 A fórmula dos juros compostos é: [ M = C times (1 + i)^n ] Onde: - ( M ) é o montante final, - ( C ) é o capital inicial, - ( i ) é a taxa de juros, - ( n ) é o número de períodos Aqui, ( M = R
Onde:
  • C = M(1 + i)^n é o montante final,
  • C = 30241 + 0,20 = 30241,20 = 2520 é o capital inicial,
  • é a taxa de juros,
  • é o número de períodos.
Aqui, , , e .
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar :
Substituindo os valores:
Então, o capital inicial foi de R$ 2.520,00.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das afirmações:
1. O capital aplicado inicialmente foi de R$ 2.520,00.
Acertou! Como calculamos no passo anterior, o capital inicial realmente foi de R$ 2.520,00.
2. Os montantes obtidos ao final de cada período de um ano formam uma progressão geométrica se, e somente se, as taxas de juros anuais dos dois últimos anos forem iguais.
Uma progressão geométrica (PG) ocorre quando cada termo é multiplicado por uma razão constante para chegar ao próximo termo. No contexto dos montantes, isso só acontece se as taxas de juros nos dois últimos anos forem iguais, mantendo a razão constante. Então, essa afirmação é verdadeira.
3. Se, em comparação com o primeiro ano, a taxa anual de juros do segundo ano foi o dobro, então o rendimento anual também dobrou.
Aqui, se a taxa de juros dobrou, digamos de 20% para 40%, isso não significa que o rendimento dobrou, porque os juros são calculados sobre o montante acumulado. Então, essa afirmação é falsa.
4. Se a taxa de juros anual dos dois últimos anos foi igual a 30%, o capital acumulado ao final do terceiro ano foi de R$ 5.110,56.
Vamos verificar isso. No segundo ano, com 30% de juros sobre R$ 3.024,00:
2.520,00** Acertou! Como calculamos no passo anterior, o capital inicial realmente foi de R
No terceiro ano, mais 30% sobre R$ 3.931,20:
5.110,56** Vamos verificar isso No segundo ano, com 30% de juros sobre R
Então, a afirmação está correta.
5. Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e terceiro anos foram, respectivamente, de 30% e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa de juros anual fosse constante e igual a 20%.
Vamos calcular ambos os cenários:
Primeiro cenário: 30% no segundo ano e 10% no terceiro.
M2 = 3024 times 1,30 = 3931,20
3.931,20: [ M3 = 3931,20 times 1,30 = 5110,56 ] Então, a afirmação está correta **5 Supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e terceiro anos foram, respectivamente, de 30% e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois ú
Segundo cenário: 20% nos dois últimos anos.
Os montantes são R$ 4.324,32 e R$ 4.354,56, respectivamente. Eles não são iguais, então a afirmação é falsa.

Resposta

As afirmações 1, 2 e 4 são verdadeiras, enquanto as afirmações 3 e 5 são falsas.

Exercícios relacionados