(2)Três fornecedores entregam o produto X para a indústria T. Ao longo do tempo a Indústria registrou que
dos produtos
foram fornecidos pelo fornecedor
que apresentou um fator de sucesso de 95% (
dos produtos entregues eram perfeitos),
dos produtos X foram fornecidos pelo fornecedor F 2 com
de sucesso e
dos produtos X foram fornecidos pelo fornecedor F3 com
de sucesso. Considerando que essas proporções se mantém constantes, ao selecionarmos aleatoriamente um produto X no estoque da indústria T, qual é a probabilidade de que seja perfeito? Qual é a variância?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três fornecedores de um produto X para a indústria T:
- Fornecedor F1: Fornece 50% dos produtos e tem 95% de sucesso (produtos perfeitos).
- Fornecedor F2: Fornece 30% dos produtos e tem 90% de sucesso.
- Fornecedor F3: Fornece 20% dos produtos e tem 85% de sucesso.
Queremos descobrir duas coisas:
- Probabilidade de um produto escolhido aleatoriamente ser perfeito.
- Variância dessa probabilidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade total e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um produto escolhido ser perfeito. Para isso, usamos a Lei da Probabilidade Total, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento ocorrendo considerando várias possibilidades.
A fórmula geral é:
Onde:
- $ P(Fi) $ é a probabilidade de o produto ser do fornecedor $ Fi $.
- $ P(Perfeito | Fi) $ é a probabilidade de o produto ser perfeito dado que veio do fornecedor $ Fi $.
Passo 3
Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
Agora, vamos calcular cada termo:
Passo 4
Somando os resultados:
Então, a probabilidade de um produto ser perfeito é 91,5%.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância dessa probabilidade. A variância nos dá uma medida de quão dispersos os valores estão em relação à média.
Primeiro, precisamos entender que estamos tratando de uma variável aleatória $ X $ que indica se o produto é perfeito ou não. Podemos definir $ X $ como:
Para essa variável, a expectativa $ E(X) $ é igual à probabilidade de sucesso, que já calculamos:
A variância $ Var(X) $ é calculada por:
Como $ X $ só pode ser 0 ou 1, temos $ X^2 = X $. Então:
Passo 6
Substituindo na fórmula da variância:
Então, a variância é aproximadamente 0,0778.
Resposta
A probabilidade de um produto escolhido aleatoriamente ser perfeito é 91,5% e a variância dessa probabilidade é aproximadamente 0,0778.