(2)Três fornecedores entregam o produto X para a indústria T. Ao longo do tempo a Indústria registrou que 50 % dos produtos X foram fornecidos pelo fornecedor F 1 que apresentou um fator de sucesso de 95% ( 95 % dos produtos entregues eram perfeitos), 30 % dos produtos X foram fornecidos pelo fornecedor F 2 com 90 % de sucesso e 20 % dos produtos X foram fornecidos pelo fornecedor F3 com 85 % de sucesso. Considerando que essas proporções se mantém constantes, ao selecionarmos aleatoriamente um produto X no estoque da indústria T, qual é a probabilidade de que seja perfeito? Qual é a variância?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três fornecedores de um produto X para a indústria T:
  • Fornecedor F1: Fornece 50% dos produtos e tem 95% de sucesso (produtos perfeitos).
  • Fornecedor F2: Fornece 30% dos produtos e tem 90% de sucesso.
  • Fornecedor F3: Fornece 20% dos produtos e tem 85% de sucesso.
Queremos descobrir duas coisas:
  1. Probabilidade de um produto escolhido aleatoriamente ser perfeito.
  2. Variância dessa probabilidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade total e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um produto escolhido ser perfeito. Para isso, usamos a Lei da Probabilidade Total, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento ocorrendo considerando várias possibilidades.
A fórmula geral é:
P(Perfeito) = P(F1) times P(Perfeito | F1) + P(F2) times P(Perfeito | F2) + P(F3) times P(Perfeito | F3)
Onde:
  • $ P(Fi) $ é a probabilidade de o produto ser do fornecedor $ Fi $.
  • $ P(Perfeito | Fi) $ é a probabilidade de o produto ser perfeito dado que veio do fornecedor $ Fi $.

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
P(Perfeito) = 0,50 times 0,95 + 0,30 times 0,90 + 0,20 times 0,85
Agora, vamos calcular cada termo:
0,50 times 0,95 = 0,475
0,30 times 0,90 = 0,27
0,20 times 0,85 = 0,17

Passo 4

Somando os resultados:
P(Perfeito) = 0,475 + 0,27 + 0,17 = 0,915
Então, a probabilidade de um produto ser perfeito é 91,5%.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância dessa probabilidade. A variância nos dá uma medida de quão dispersos os valores estão em relação à média.
Primeiro, precisamos entender que estamos tratando de uma variável aleatória $ X $ que indica se o produto é perfeito ou não. Podemos definir $ X $ como:
X á
Para essa variável, a expectativa $ E(X) $ é igual à probabilidade de sucesso, que já calculamos:
X
A variância $ Var(X) $ é calculada por:
X = 1, & se o produto for perfeito 0, & caso contrário
Como $ X $ só pode ser 0 ou 1, temos $ X^2 = X $. Então:
E(X)

Passo 6

Substituindo na fórmula da variância:
Var(X) = 0,915 - (0,915)^2 = 0,915 - 0,837225 = 0,077775
Então, a variância é aproximadamente 0,0778.

Resposta

A probabilidade de um produto escolhido aleatoriamente ser perfeito é 91,5% e a variância dessa probabilidade é aproximadamente 0,0778.

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