Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por
o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
o valor observado neste lançamento.
a) O que diz a sua intuição?
e
devem ser independentes?
a) O que diz a sua intuição?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar um dado justo várias vezes. Temos duas variáveis:
-
: o número total de lançamentos até tirarmos um valor diferente de 6. -
: o valor que saiu nesse lançamento final que foi diferente de 6.
O conteúdo aqui envolve conceitos de probabilidade, especificamente sobre variáveis aleatórias e independência entre elas. Vamos precisar entender o que significa duas variáveis serem independentes para responder se
e
são ou não independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis são independentes se a ocorrência de uma não afeta a probabilidade da ocorrência da outra. Em termos matemáticos,
para todos os valores possíveis de
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a variável
.
representa o número de lançamentos até sair um valor diferente de 6. Isso é uma distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso (sair um valor diferente de 6) é
.
A variável
é o valor que saiu nesse lançamento final. Como o dado é justo, e já sabemos que não foi 6, os possíveis valores de
são 1, 2, 3, 4 e 5, cada um com probabilidade igual de
.
Passo 4
Vamos ver se a probabilidade conjunta
é igual ao produto das probabilidades individuais
.
Sabemos que:
Agora,
é a probabilidade de ter
resultados iguais a 6 e no
-ésimo lançamento sair um valor específico
(de 1 a 5).
Então:
Passo 5
Vamos comparar as duas expressões:
Como ambas são iguais, isso confirma que:
Resposta
Sim, as variáveis
e
são independentes.
Exercícios relacionados
A função de probabilidade conjunta de
e
é dada por
Encontre as funções de probabilidade marginais de
e
;
Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por
o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
o valor observado neste lançamento.
O que diz a sua intuição? e
devem ser independentes?
O que diz a sua intuição?
Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por
o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
o valor observado neste lançamento.
Encontre as funções de probabilidade marginais de e
.
Encontre as funções de probabilidade marginais de
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), em
, é uma variável aleatória tal que:
(100,0; 100,0). Qual a probabilidade de uma amostra aleatória de 25 resistores ter uma resistência média menor que
.