Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por o valor observado neste lançamento.
a) O que diz a sua intuição? e devem ser independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar um dado justo várias vezes. Temos duas variáveis:
  • : o número total de lançamentos até tirarmos um valor diferente de 6.
  • : o valor que saiu nesse lançamento final que foi diferente de 6.
O conteúdo aqui envolve conceitos de probabilidade, especificamente sobre variáveis aleatórias e independência entre elas. Vamos precisar entender o que significa duas variáveis serem independentes para responder se e são ou não independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis são independentes se a ocorrência de uma não afeta a probabilidade da ocorrência da outra. Em termos matemáticos, para todos os valores possíveis de e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a variável . representa o número de lançamentos até sair um valor diferente de 6. Isso é uma distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso (sair um valor diferente de 6) é .
A variável é o valor que saiu nesse lançamento final. Como o dado é justo, e já sabemos que não foi 6, os possíveis valores de são 1, 2, 3, 4 e 5, cada um com probabilidade igual de .

Passo 4

Vamos ver se a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades individuais .
Sabemos que:
Agora, é a probabilidade de ter resultados iguais a 6 e no -ésimo lançamento sair um valor específico (de 1 a 5).
Então:

Passo 5

Vamos comparar as duas expressões:
Como ambas são iguais, isso confirma que:

Resposta

Sim, as variáveis e são independentes.

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A função de probabilidade conjunta de e é dada por
Encontre as funções de probabilidade marginais de e ;
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