Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por N o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por X o valor observado neste lançamento.
a) O que diz a sua intuição? N e X devem ser independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar um dado justo várias vezes. Temos duas variáveis:
  • N: o número total de lançamentos até tirarmos um valor diferente de 6.
  • X: o valor que saiu nesse lançamento final que foi diferente de 6.
O conteúdo aqui envolve conceitos de probabilidade, especificamente sobre variáveis aleatórias e independência entre elas. Vamos precisar entender o que significa duas variáveis serem independentes para responder se N e X são ou não independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis são independentes se a ocorrência de uma não afeta a probabilidade da ocorrência da outra. Em termos matemáticos, P(N = n e X = x) = P(N = n) times P(X = x) para todos os valores possíveis de n e x.

Passo 3

Agora, vamos analisar a variável N. N representa o número de lançamentos até sair um valor diferente de 6. Isso é uma distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso (sair um valor diferente de 6) é p = 56.
A variável X é o valor que saiu nesse lançamento final. Como o dado é justo, e já sabemos que não foi 6, os possíveis valores de X são 1, 2, 3, 4 e 5, cada um com probabilidade igual de 15.

Passo 4

Vamos ver se a probabilidade conjunta P(N = n e X = x) é igual ao produto das probabilidades individuais P(N = n) times P(X = x).
Sabemos que:
  • P(N = n) = (16)^n-1 times 56
  • P(X = x) = 15
Agora, P(N = n e X = x) é a probabilidade de ter n-1 resultados iguais a 6 e no n-ésimo lançamento sair um valor específico x (de 1 a 5).
Então:
P(N = n e X = x) = (16)^n-1 times 16

Passo 5

Vamos comparar as duas expressões:
  • P(N = n) times P(X = x) = (16)^n-1 times 56 times 15 = (16)^n-1 times 16
  • P(N = n e X = x) = (16)^n-1 times 16
Como ambas são iguais, isso confirma que:
P(N = n e X = x) = P(N = n) times P(X = x)

Resposta

Sim, as variáveis N e X são independentes.

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