Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por
o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
o valor observado neste lançamento.
Encontre as funções de probabilidade marginais de
e
.
Encontre as funções de probabilidade marginais de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos rolando um dado justo várias vezes até tirar um número diferente de 6. Queremos descobrir duas coisas:
- A probabilidade de precisarmos de um certo número de lançamentos (isso é a função de probabilidade marginal de
). - A probabilidade de, nesse último lançamento, o número que saiu ser cada valor possível (função de probabilidade marginal de
).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade discreta e distribuição geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de probabilidade marginal de
, que representa o número total de lançamentos até sair um número diferente de 6.
Sabemos que a probabilidade de tirar um 6 em um lançamento de dado justo é
, e a probabilidade de tirar qualquer outro número (1 a 5) é
.
Aqui, estamos lidando com uma sequência de tentativas independentes onde estamos buscando o primeiro sucesso (tirar diferente de 6). Isso segue uma distribuição geométrica.
A fórmula da distribuição geométrica é:
onde:
-
é a probabilidade de sucesso (tirar diferente de 6, ou seja, ), -
é a probabilidade de fracasso (tirar 6), -
é o número de tentativas.
Passo 3
Agora, aplicando esses valores na fórmula, temos:
Isso significa que a probabilidade de precisar de exatamente
lançamentos para tirar um número diferente de 6 decresce exponencialmente conforme
aumenta.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função de probabilidade marginal de
, que é o valor observado no lançamento que resulta em um número diferente de 6.
Sabemos que, nesse último lançamento, o número pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5, cada um com igual probabilidade, já que o dado é justo.
Então, a probabilidade de
para
é simplesmente
, porque são 5 resultados possíveis igualmente prováveis após descartarmos o 6.
Passo 5
Resumindo:
- A função de probabilidade de
é geométrica com . - A função de probabilidade de
é uniforme sobre os valores 1 a 5.
Resposta
A função de probabilidade marginal de
é:
E a função de probabilidade marginal de
é:
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o valor observado neste lançamento.
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e
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e
;
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), em
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