Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por N o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por X o valor observado neste lançamento.
Encontre as funções de probabilidade marginais de N e X.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos rolando um dado justo várias vezes até tirar um número diferente de 6. Queremos descobrir duas coisas:
  1. A probabilidade de precisarmos de um certo número de lançamentos (isso é a função de probabilidade marginal de ).
  2. A probabilidade de, nesse último lançamento, o número que saiu ser cada valor possível (função de probabilidade marginal de ).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade discreta e distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de probabilidade marginal de P(N = n) = q^n-1 cdot p , que representa o número total de lançamentos até sair um número diferente de 6.
Sabemos que a probabilidade de tirar um 6 em um lançamento de dado justo é , e a probabilidade de tirar qualquer outro número (1 a 5) é .
Aqui, estamos lidando com uma sequência de tentativas independentes onde estamos buscando o primeiro sucesso (tirar diferente de 6). Isso segue uma distribuição geométrica.
A fórmula da distribuição geométrica é:
onde:
  • é a probabilidade de sucesso (tirar diferente de 6, ou seja, ),
  • é a probabilidade de fracasso (tirar 6),
  • é o número de tentativas.

Passo 3

Agora, aplicando esses valores na fórmula, temos:
P(N = n) = (16)^n-1 cdot 56, onde n = 1, 2, 3, ldots
Isso significa que a probabilidade de precisar de exatamente lançamentos para tirar um número diferente de 6 decresce exponencialmente conforme aumenta.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função de probabilidade marginal de , que é o valor observado no lançamento que resulta em um número diferente de 6.
Sabemos que, nesse último lançamento, o número pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5, cada um com igual probabilidade, já que o dado é justo.
Então, a probabilidade de para é simplesmente , porque são 5 resultados possíveis igualmente prováveis após descartarmos o 6.

Passo 5

Resumindo:
  • A função de probabilidade de é geométrica com .
  • A função de probabilidade de é uniforme sobre os valores 1 a 5.

Resposta

A função de probabilidade marginal de P(N = n) = (16)^n-1 cdot 56, n = 1, 2, 3, ldots é:
P(X = x) = 15, x = 1, 2, 3, 4, 5
E a função de probabilidade marginal de é:

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