Na indústria de peças PEQNOV, o principal produto comercializado pela empresa pode ser fabricado por 3 linhas distintas de produção. Cada linha possui 3 equipamentos (o produto passa necessariamente pelos 3 equipamentos da linha em que estiver sendo fabricado). A tabela abaixo mostra a porcentagem de defeitos produzido em cada equipamento. A linha 1 é responsável por
da produção, a linha 2 por
da produção e a linha 3 produz o restante.
Equipamento A
Equipamento B
Equipamento C
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Um produto é retirado de um lote que contém a produção de todas as linhas. Calcule:
A probabilidade de o produto que é perfeito ter sido fabricado pela linha 2;
Equipamento A | Equipamento B | Equipamento C | |
Linha 1 |
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Linha 2 |
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Linha 3 |
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A probabilidade de o produto que é perfeito ter sido fabricado pela linha 2;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver. A gente tem uma fábrica que produz peças usando 3 linhas de produção diferentes. Cada linha passa por 3 equipamentos, e cada equipamento tem uma certa porcentagem de defeitos. A produção total é dividida entre as linhas: 32% pela linha 1, 40% pela linha 2 e o restante pela linha 3.
A pergunta é: qual a probabilidade de um produto perfeito (sem defeitos) ter sido fabricado pela linha 2? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o teorema de Bayes. Vamos precisar calcular as probabilidades de um produto ser perfeito em cada linha e, depois, comparar essas probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um produto ser perfeito na linha 2. Isso significa que o produto não teve defeito em nenhum dos 3 equipamentos dessa linha.
A probabilidade de não ter defeito em cada equipamento é:
- Equipamento A:
- Equipamento B:
- Equipamento C:
Como os equipamentos funcionam de forma independente, a probabilidade total de um produto ser perfeito na linha 2 é o produto dessas probabilidades individuais:
Vamos calcular isso:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos calcular a probabilidade total de um produto ser perfeito, considerando todas as linhas de produção. Isso envolve calcular a probabilidade de um produto ser perfeito em cada linha e multiplicar pela proporção de produção de cada linha. Depois, somamos esses resultados.
Vamos fazer isso para cada linha:
Linha 1:
- Equipamento A:
- Equipamento B:
- Equipamento C:
Linha 2:
Já calculamos:
Linha 3:
- Equipamento A:
- Equipamento B:
- Equipamento C:
Agora, considerando as proporções de produção:
- Linha 1: 32% ou 0,32
- Linha 2: 40% ou 0,40
- Linha 3:
ou 0,28
Então, a probabilidade total de um produto ser perfeito é:
Vamos calcular cada parte:
Somando tudo:
Então,
Passo 4
Agora vamos usar o teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de o produto perfeito ter sido fabricado pela linha 2. A fórmula do teorema de Bayes é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Vamos calcular o numerador:
Agora, dividindo pelo denominador:
Resposta
A probabilidade de o produto perfeito ter sido fabricado pela linha 2 é aproximadamente 40,3%.