Na indústria de peças PEQNOV, o principal produto comercializado pela empresa pode ser fabricado por 3 linhas distintas de produção. Cada linha possui 3 equipamentos (o produto passa necessariamente pelos 3 equipamentos da linha em que estiver sendo fabricado). A tabela abaixo mostra a porcentagem de defeitos produzido em cada equipamento. A linha 1 é responsável por 32 % da produção, a linha 2 por 40 % da produção e a linha 3 produz o restante.
Equipamento A Equipamento B Equipamento C
Linha 1 |c|c|c|c| cline 2 - 4 mu
Linha 2
Linha 3
Um produto é retirado de um lote que contém a produção de todas as linhas. Calcule:
A probabilidade de o produto que é perfeito ter sido fabricado pela linha 2;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolver. A gente tem uma fábrica que produz peças usando 3 linhas de produção diferentes. Cada linha passa por 3 equipamentos, e cada equipamento tem uma certa porcentagem de defeitos. A produção total é dividida entre as linhas: 32% pela linha 1, 40% pela linha 2 e o restante pela linha 3.
A pergunta é: qual a probabilidade de um produto perfeito (sem defeitos) ter sido fabricado pela linha 2? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o teorema de Bayes. Vamos precisar calcular as probabilidades de um produto ser perfeito em cada linha e, depois, comparar essas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um produto ser perfeito na linha 2. Isso significa que o produto não teve defeito em nenhum dos 3 equipamentos dessa linha.
A probabilidade de não ter defeito em cada equipamento é:
  • Equipamento A: 1 - 0,025 = 0,975
  • Equipamento B: 1 - 0,016 = 0,984
  • Equipamento C: 1 - 0,011 = 0,989
Como os equipamentos funcionam de forma independente, a probabilidade total de um produto ser perfeito na linha 2 é o produto dessas probabilidades individuais:
P(Perfeito mid Linha 2) = 0,975 times 0,984 times 0,989
Vamos calcular isso:
0,975 times 0,984 = 0,9594
0,9594 times 0,989 approx 0,949
Então,
P(Perfeito mid Linha 2) approx 0,949

Passo 3

Agora, precisamos calcular a probabilidade total de um produto ser perfeito, considerando todas as linhas de produção. Isso envolve calcular a probabilidade de um produto ser perfeito em cada linha e multiplicar pela proporção de produção de cada linha. Depois, somamos esses resultados.
Vamos fazer isso para cada linha:
Linha 1:
  • Equipamento A: 1 - 0,013 = 0,987
  • Equipamento B: 1 - 0,015 = 0,985
  • Equipamento C: 1 - 0,021 = 0,979
P(Perfeito mid Linha 1) = 0,987 times 0,985 times 0,979 approx 0,951
Linha 2:
Já calculamos:
P(Perfeito mid Linha 2) approx 0,949
Linha 3:
  • Equipamento A: 1 - 0,032 = 0,968
  • Equipamento B: 1 - 0,027 = 0,973
  • Equipamento C: 1 - 0,022 = 0,978
P(Perfeito mid Linha 3) = 0,968 times 0,973 times 0,978 approx 0,920
Agora, considerando as proporções de produção:
  • Linha 1: 32% ou 0,32
  • Linha 2: 40% ou 0,40
  • Linha 3: 100% - 32% - 40% = 28% ou 0,28
Então, a probabilidade total de um produto ser perfeito é:
P(Perfeito) = (0,951 times 0,32) + (0,949 times 0,40) + (0,920 times 0,28)
Vamos calcular cada parte:
0,951 times 0,32 = 0,304
0,949 times 0,40 = 0,380
0,920 times 0,28 = 0,258
Somando tudo:
0,304 + 0,380 + 0,258 = 0,942
Então,
P(Perfeito) approx 0,942

Passo 4

Agora vamos usar o teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de o produto perfeito ter sido fabricado pela linha 2. A fórmula do teorema de Bayes é:
P(Linha 2 mid Perfeito) = P(Perfeito mid Linha 2) times P(Linha 2)P(Perfeito)
Substituindo os valores que já calculamos:
P(Linha 2 mid Perfeito) = 0,949 times 0,400,942
Vamos calcular o numerador:
0,949 times 0,40 = 0,38
Agora, dividindo pelo denominador:
0,380,942 approx 0,403

Resposta

A probabilidade de o produto perfeito ter sido fabricado pela linha 2 é aproximadamente 40,3%.

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