Na indústria de peças PEQNOV, o principal produto comercializado pela empresa pode ser fabricado por 3 linhas distintas de produção. Cada linha possui 3 equipamentos (o produto passa necessariamente pelos 3 equipamentos da linha em que estiver sendo fabricado). A tabela abaixo mostra a porcentagem de defeitos produzido em cada equipamento. A linha 1 é responsável por 32 % da produção, a linha 2 por 40 % da produção e a linha 3 produz o restante.
Equipamento A Equipamento B Equipamento C
Linha 1 |c|c|c|c| cline 2 - 4 mu
Linha 2
Linha 3
Um produto é retirado de um lote que contém a produção de todas as linhas. Calcule:
A probabilidade de o produto ser perfeito, sabendo-se que ele não foi produzido pela linha 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a indústria PEQNOV, que fabrica um produto principal usando 3 linhas de produção diferentes. Cada linha passa por 3 equipamentos, e cada um tem uma certa taxa de defeito. Sabemos também a participação de cada linha na produção total: Linha 1 com 32%, Linha 2 com 40% e Linha 3 com o restante (vamos ver isso logo).
O conteúdo que vamos usar aqui é probabilidade condicional, que basicamente trata da chance de um evento ocorrer dado que outro já aconteceu. Para resolver isso, precisamos calcular a probabilidade de um produto ser perfeito, sabendo que ele não veio da Linha 1.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Linha 1: 32% da produção
  • Linha 2: 40% da produção
  • Linha 3: 100% - 32% - 40% = 28% da produção
Já que estamos desconsiderando a Linha 1, vamos focar nas Linhas 2 e 3.

Passo 3

Para calcular a probabilidade condicional, usamos a fórmula:
P(Perfeito mid Não Linha 1) = P(Perfeito e Não Linha 1)P(Não Linha 1) ããã
Mas como estamos considerando que o produto vem necessariamente de uma das três linhas, $ P(Não Linha 1) = P(Linha 2) + P(Linha 3) = 40% + 28% = 68% $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(Perfeito e Não Linha 1) $. Isso significa que o produto é perfeito e foi produzido pela Linha 2 ou Linha 3.
Para cada linha, a probabilidade do produto ser perfeito é o produto das probabilidades de não ter defeito em cada equipamento.
Para a Linha 2:
  • Equipamento A: 2,5% de defeito → 97,5% de perfeito
  • Equipamento B: 1,6% de defeito → 98,4% de perfeito
  • Equipamento C: 1,1% de defeito → 98,9% de perfeito
Então, $ P(Perfeito \mid Linha 2) = 0,975 \times 0,984 \times 0,989 $
Para a Linha 3:
  • Equipamento A: 3,2% de defeito → 96,8% de perfeito
  • Equipamento B: 2,7% de defeito → 97,3% de perfeito
  • Equipamento C: 2,2% de defeito → 97,8% de perfeito
Então, $ P(Perfeito \mid Linha 3) = 0,968 \times 0,973 \times 0,978 $

Passo 5

Vamos calcular essas probabilidades:
Para a Linha 2:
0,975 times 0,984 times 0,989 approx 0,975 times 0,984 = 0,9594 0,9594 times 0,989 approx 0,9494
Então, $ P(Perfeito \mid Linha 2) \approx 94,94% $
Para a Linha 3:
P(Perfeito mid Linha 2) approx 94,94%
Então, $ P(Perfeito \mid Linha 3) \approx 92,0% $

Passo 6

Agora, multiplicamos essas probabilidades pela proporção de cada linha na produção:
P(Perfeito e Linha 2) = 0,40 times 0,9494 approx 0,3798 P(Perfeito e Linha 3) = 0,28 times 0,920 approx 0,2576
Então, $ P(Perfeito e Não Linha 1) = 0,3798 + 0,2576 = 0,6374 $

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(Perfeito mid Não Linha 1) = 0,63740,68 approx 0,937 ou 93,7% ã

Resposta

A probabilidade de o produto ser perfeito, sabendo-se que ele não foi produzido pela linha 1, é de aproximadamente 93,7%.

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