Na indústria de peças PEQNOV, o principal produto comercializado pela empresa pode ser fabricado por 3 linhas distintas de produção. Cada linha possui 3 equipamentos (o produto passa necessariamente pelos 3 equipamentos da linha em que estiver sendo fabricado). A tabela abaixo mostra a porcentagem de defeitos produzido em cada equipamento. A linha 1 é responsável por 32 % da produção, a linha 2 por 40 % da produção e a linha 3 produz o restante.
Equipamento A Equipamento B Equipamento C
Linha 1 |c|c|c|c| cline 2 - 4 mu
Linha 2
Linha 3
Um produto é retirado de um lote que contém a produção de todas as linhas. Calcule:
A probabilidade de o produto que é defeituoso não ter sido fabricado pela linha 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa que fabrica peças em 3 linhas de produção diferentes. Cada linha tem 3 equipamentos pelos quais o produto passa, e cada equipamento tem uma certa porcentagem de defeitos. As linhas também têm diferentes proporções de produção: Linha 1 faz 32%, Linha 2 faz 40% e Linha 3 faz o restante da produção. O que precisamos descobrir é: qual a probabilidade de um produto defeituoso não ter sido fabricado pela Linha 1. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e total para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a produção total de cada linha. Sabemos que:
  • Linha 1: 32% da produção
  • Linha 2: 40% da produção
  • Linha 3: Como a soma das produções das linhas 1 e 2 é 72%, a Linha 3 faz 100% - 72% = 28% da produção.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de um produto ser defeituoso em cada linha. Para isso, precisamos considerar as porcentagens de defeitos em cada equipamento. Como o produto passa pelos 3 equipamentos, a probabilidade total de defeito em uma linha é a soma das probabilidades de defeito em cada equipamento, assumindo que os defeitos são independentes.
Para simplificar, podemos calcular a taxa de defeito total por linha:
  • Linha 1:
    • Equipamento A: 1,3%
    • Equipamento B: 1,5%
    • Equipamento C: 2,1%
    • Total de defeitos na Linha 1: 1,3% + 1,5% + 2,1% = 4,9%
  • Linha 2:
    • Equipamento A: 2,5%
    • Equipamento B: 1,6%
    • Equipamento C: 1,1%
    • Total de defeitos na Linha 2: 2,5% + 1,6% + 1,1% = 5,2%
  • Linha 3:
    • Equipamento A: 3,2%
    • Equipamento B: 2,7%
    • Equipamento C: 2,2%
    • Total de defeitos na Linha 3: 3,2% + 2,7% + 2,2% = 8,1%

Passo 4

Agora precisamos calcular a probabilidade total de um produto ser defeituoso. Isso é feito somando as probabilidades de defeito de cada linha, ponderadas pela proporção de produção de cada uma:
P(Defeito) = P(Linha 1) times P(Defeito|Linha 1) + P(Linha 2) times P(Defeito|Linha 2) + P(Linha 3) times P(Defeito|Linha 3)
Substituindo os valores:
P(Defeito) = 0,32 times 0,049 + 0,40 times 0,052 + 0,28 times 0,081
Calculando cada termo:
0,32 times 0,049 = 0,01568
0,40 times 0,052 = 0,0208
0,28 times 0,081 = 0,02268
Somando tudo:
P(Defeito) = 0,01568 + 0,0208 + 0,02268 = 0,05916
Ou seja, a probabilidade total de um produto ser defeituoso é aproximadamente 5,916%.

Passo 5

Agora, queremos saber a probabilidade de que, dado que um produto é defeituoso, ele não tenha sido fabricado pela Linha 1. Isso é uma probabilidade condicional, que pode ser calculada usando a fórmula:
P(Não Linha 1|Defeito) = 1 - P(Linha 1|Defeito) ã
Primeiro, vamos encontrar $ P(Linha 1|Defeito) $. Usamos a fórmula de Bayes:
P(Linha 1|Defeito)
Substituindo os valores que já temos:
P(Linha 1|Defeito) = P(Defeito|Linha 1) times P(Linha 1)P(Defeito)
Então,
P(Linha 1|Defeito) = 0,049 times 0,320,05916 approx 0,015680,05916 approx 0,265 ã

Resposta

A probabilidade de um produto defeituoso não ter sido fabricado pela Linha 1 é de aproximadamente 73,5%.

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