Na indústria de peças PEQNOV, o principal produto comercializado pela empresa pode ser fabricado por 3 linhas distintas de produção. Cada linha possui 3 equipamentos (o produto passa necessariamente pelos 3 equipamentos da linha em que estiver sendo fabricado). A tabela abaixo mostra a porcentagem de defeitos produzido em cada equipamento. A linha 1 é responsável por
da produção, a linha 2 por
da produção e a linha 3 produz o restante.
Equipamento A
Equipamento B
Equipamento C
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Um produto é retirado de um lote que contém a produção de todas as linhas. Calcule:
A probabilidade de o produto que é defeituoso não ter sido fabricado pela linha 1.
Equipamento A | Equipamento B | Equipamento C | |
Linha 1 |
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Linha 2 |
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Linha 3 |
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A probabilidade de o produto que é defeituoso não ter sido fabricado pela linha 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa que fabrica peças em 3 linhas de produção diferentes. Cada linha tem 3 equipamentos pelos quais o produto passa, e cada equipamento tem uma certa porcentagem de defeitos. As linhas também têm diferentes proporções de produção: Linha 1 faz 32%, Linha 2 faz 40% e Linha 3 faz o restante da produção. O que precisamos descobrir é: qual a probabilidade de um produto defeituoso não ter sido fabricado pela Linha 1. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e total para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a produção total de cada linha. Sabemos que:
- Linha 1: 32% da produção
- Linha 2: 40% da produção
- Linha 3: Como a soma das produções das linhas 1 e 2 é 72%, a Linha 3 faz 100% - 72% = 28% da produção.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de um produto ser defeituoso em cada linha. Para isso, precisamos considerar as porcentagens de defeitos em cada equipamento. Como o produto passa pelos 3 equipamentos, a probabilidade total de defeito em uma linha é a soma das probabilidades de defeito em cada equipamento, assumindo que os defeitos são independentes.
Para simplificar, podemos calcular a taxa de defeito total por linha:
-
Linha 1:
- Equipamento A: 1,3%
- Equipamento B: 1,5%
- Equipamento C: 2,1%
- Total de defeitos na Linha 1: 1,3% + 1,5% + 2,1% = 4,9%
-
Linha 2:
- Equipamento A: 2,5%
- Equipamento B: 1,6%
- Equipamento C: 1,1%
- Total de defeitos na Linha 2: 2,5% + 1,6% + 1,1% = 5,2%
-
Linha 3:
- Equipamento A: 3,2%
- Equipamento B: 2,7%
- Equipamento C: 2,2%
- Total de defeitos na Linha 3: 3,2% + 2,7% + 2,2% = 8,1%
Passo 4
Agora precisamos calcular a probabilidade total de um produto ser defeituoso. Isso é feito somando as probabilidades de defeito de cada linha, ponderadas pela proporção de produção de cada uma:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Ou seja, a probabilidade total de um produto ser defeituoso é aproximadamente 5,916%.
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de que, dado que um produto é defeituoso, ele não tenha sido fabricado pela Linha 1. Isso é uma probabilidade condicional, que pode ser calculada usando a fórmula:
Primeiro, vamos encontrar $ P(Linha 1|Defeito) $. Usamos a fórmula de Bayes:
Substituindo os valores que já temos:
Então,
Resposta
A probabilidade de um produto defeituoso não ter sido fabricado pela Linha 1 é de aproximadamente 73,5%.