Três urnas contêm fichas com a seguinte distribuição: Urna 1: três fichas vermelhas; duas fichas amarelas e cinco fichas brancas. Urna 2: duas fichas vermelhas; quatro fichas amarelas e três fichas brancas. Urna 3: cinco fichas vermelhas; três fichas amarelas e seis fichas brancas. Joga-se um dado, se sair o número 1 ou 2 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 1, se sair o número 3 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 2 e se sair os números 4,5 ou 6 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 3. Com base nas informações anteriores, responda:
Se as duas fichas retiradas são brancas, qual a probabilidade de elas terem vindo da Urna 1?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três urnas com fichas de cores diferentes e um dado para decidir de qual urna retirar as fichas. A questão é: se a gente tirou duas fichas brancas, qual a chance de elas terem vindo da Urna 1? Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional e a Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades iniciais de escolher cada urna. O dado tem 6 lados:
  • Se sair 1 ou 2, escolhemos a Urna 1. Isso dá uma probabilidade de 26 = 13.
  • Se sair 3, escolhemos a Urna 2. Probabilidade de 16.
  • Se sair 4, 5 ou 6, escolhemos a Urna 3. Probabilidade de 36 = 12.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar duas fichas brancas de cada urna:
  • Urna 1: Tem 5 fichas brancas e 10 fichas no total. A probabilidade de tirar duas brancas sem reposição é:
    P(WW|U1) = binom52binom102 = 1045 = 29
  • Urna 2: Tem 3 fichas brancas e 9 no total. A probabilidade é:
    P(WW|U2) = binom32binom92 = 336 = 112
  • Urna 3: Tem 6 fichas brancas e 14 no total. A probabilidade é:
    P(WW|U3) = binom62binom142 = 1591

Passo 4

Vamos calcular agora a probabilidade total de tirar duas fichas brancas, considerando todas as urnas:
P(WW) = P(U1) times P(WW|U1) + P(U2) times P(WW|U2) + P(U3) times P(WW|U3)
Substituindo os valores:
P(WW) = 13 times 29 + 16 times 112 + 12 times 1591 approx 0,0741 + 0,0139 + 0,0824 = 0,1704

Passo 5

Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que as fichas vieram da Urna 1 dado que ambas são brancas:
P(U1|WW) = P(WW|U1) times P(U1)P(WW) = 29 times 130,1704 approx 0,07410,1704 approx 0,434

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 43%.

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