Três urnas contêm fichas com a seguinte distribuição: Urna 1: três fichas vermelhas; duas fichas amarelas e cinco fichas brancas. Urna 2: duas fichas vermelhas; quatro fichas amarelas e três fichas brancas. Urna 3: cinco fichas vermelhas; três fichas amarelas e seis fichas brancas. Joga-se um dado, se sair o número 1 ou 2 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 1, se sair o número 3 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 2 e se sair os números 4,5 ou 6 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 3. Com base nas informações anteriores, responda:
Se as duas fichas retiradas são brancas, qual a probabilidade de elas terem vindo da Urna 1?
Se as duas fichas retiradas são brancas, qual a probabilidade de elas terem vindo da Urna 1?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três urnas com fichas de cores diferentes e um dado para decidir de qual urna retirar as fichas. A questão é: se a gente tirou duas fichas brancas, qual a chance de elas terem vindo da Urna 1? Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional e a Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as probabilidades iniciais de escolher cada urna. O dado tem 6 lados:
- Se sair 1 ou 2, escolhemos a Urna 1. Isso dá uma probabilidade de
. - Se sair 3, escolhemos a Urna 2. Probabilidade de
. - Se sair 4, 5 ou 6, escolhemos a Urna 3. Probabilidade de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar duas fichas brancas de cada urna:
-
Urna 1: Tem 5 fichas brancas e 10 fichas no total. A probabilidade de tirar duas brancas sem reposição é:
-
Urna 2: Tem 3 fichas brancas e 9 no total. A probabilidade é:
-
Urna 3: Tem 6 fichas brancas e 14 no total. A probabilidade é:
Passo 4
Vamos calcular agora a probabilidade total de tirar duas fichas brancas, considerando todas as urnas:
Substituindo os valores:
Passo 5
Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que as fichas vieram da Urna 1 dado que ambas são brancas:
Resposta
A probabilidade é aproximadamente 43%.