Uma indústria processadora de suco classifica os carregamentos de laranja que chegam a suas instalações em A, B ou C. Sabe-se que 30 % dos carregamentos são classificados na classe A. Entre os quatro próximos carregamentos, qual a probabilidade de ter:
d) Até 3 serem classificados na classe A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma indústria que classifica carregamentos de laranja em três categorias: A, B e C. Sabemos que 30% dos carregamentos são classificados na classe A. O que a gente precisa descobrir é a probabilidade de, entre os quatro próximos carregamentos, até 3 serem classificados como classe A. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “até 3” carregamentos na classe A. Isso inclui 0, 1, 2 ou 3 carregamentos sendo classificados como A. Para calcular essa probabilidade, vamos somar as probabilidades de cada um desses casos.

Passo 3

A distribuição binomial é perfeita para esse tipo de problema, pois estamos lidando com um número fixo de tentativas (n = 4), cada tentativa tem dois resultados possíveis (classe A ou não A), e a probabilidade de sucesso (classe A) é constante em cada tentativa (p = 0,3).
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
onde:
  • é o número de tentativas,
  • é o número de sucessos desejados,
  • é a probabilidade de sucesso,
  • é o coeficiente binomial.

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades para cada caso:
  1. P(X = 0): Nenhum carregamento na classe A.
  2. P(X = 1): Um carregamento na classe A.
  3. P(X = 2): Dois carregamentos na classe A.
  4. P(X = 3): Três carregamentos na classe A.

Passo 5

Calculando cada uma:
  1. P(X = 0):
P(0) = binom40 cdot 0,3^0 cdot 0,7^4 = 1 cdot 1 cdot 0,7^4 = 0,2401
  1. P(X = 1):
P(1) = binom41 cdot 0,3^1 cdot 0,7^3 = 4 cdot 0,3 cdot 0,343 = 0,4116
  1. P(X = 2):
P(2) = binom42 cdot 0,3^2 cdot 0,7^2 = 6 cdot 0,09 cdot 0,49 = 0,2646
  1. P(X = 3):
P(3) = binom43 cdot 0,3^3 cdot 0,7^1 = 4 cdot 0,027 cdot 0,7 = 0,0756

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade de ter até 3 carregamentos na classe A:
P(X <= 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,2401 + 0,4116 + 0,2646 + 0,0756 = 0,9919

Resposta

A probabilidade de que, entre os quatro próximos carregamentos, até 3 sejam classificados na classe A é de aproximadamente 99,19%.

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b) Todos não serem classificados na classe A
Uma indústria processadora de suco classifica os carregamentos de laranja que chegam a suas instalações em A, B ou C. Sabe-se que 30 % dos carregamentos são classificados na classe A. Entre os quatro próximos carregamentos, qual a probabilidade de ter:
a) Exatamente dois serem classificados na classe A
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