A indutância de uma linha de transmissão é de 2,0 mu H / m e sua resistência de corrente contínua de 2,59 times 10^-3 Omega / m, capacitância estimada em 5,56 pF / m. Determine a impedância característica, a constante de propagação (que é a constante de atenuação e de fase), a velocidade de propagação e o comprimento de onda, considerando uma frequência de operação de 5 kHz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma linha de transmissão com as seguintes características:
  • Indutância
  • Resistência de corrente contínua
  • Capacitância
  • Frequência de operação
Precisamos determinar:
  1. Impedância característica da linha
  2. Constante de propagação (que inclui a constante de atenuação e a constante de fase)
  3. Velocidade de propagação
  4. Comprimento de onda
Vamos por partes, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a impedância característica ( Z0 = raizR + jomega LG + jomega C ) da linha de transmissão. A impedância característica é importante porque ela nos diz como a linha se comporta em relação às ondas elétricas que passam por ela.
A fórmula para a impedância característica é:
Z0 = raizR + jomega Ljomega C
Onde:
  • omega = 2pi f = 2pi times 5000 , rad/s approx 31416 , rad/s é a resistência por metro
  • Z0 = raiz2,59 times 10^-3 + j times 31416 times 2,0 times 10^-6j times 31416 times 5,56 times 10^-12 é a indutância por metro
  • R + jomega L = 2,59 times 10^-3 + j times 31416 times 2,0 times 10^-6 = 2,59 times 10^-3 + j times 0,062832 é a condutância (que geralmente é desprezada se não for dada, assumimos jomega C = j times 31416 times 5,56 times 10^-12 = j times 1,7457 times 10^-7 )
  • Z0 = raiz2,59 times 10^-3 + j times 0,062832j times 1,7457 times 10^-7 é a capacitância por metro
  • Z0 approx raizjomega Ljomega C = raizLC é a frequência angular
Como Z0 = raiz2,0 times 10^-65,56 times 10^-12 = raiz2,05,56 times 10^6 approx raiz0,3597 times 10^6 approx 599,75 , Omega , a fórmula simplifica para:
Z0 approx 600 , Omega
Mas para simplificar, normalmente consideramos que e são muito pequenos em alta frequência, mas como a frequência aqui é 5 kHz, vamos calcular considerando todos os termos.
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Vamos calcular os termos:
Então:
Esse cálculo envolve números complexos, mas para fins de simplificação, vamos considerar e como muito menores comparados aos outros termos, então:
Substituindo:
Arredondando:

Passo 3

Agora vamos calcular a constante de propagação ( gamma = alpha + jbeta ), que é uma quantidade complexa composta pela constante de atenuação ( alpha = R2Z0 raiz1 + (omega LR)^2 ) e pela constante de fase ( beta = omega raizLC ):
alpha = 2,59 times 10^-32 times 600 raiz1 + (31416 times 2,0 times 10^-62,59 times 10^-3)^2
As fórmulas para alpha = 2,59 times 10^-31200 raiz1 + (0,0628320,00259)^2 e alpha = 2,158 times 10^-6 raiz1 + (24,28)^2 approx 2,158 times 10^-6 raiz1 + 589,44 approx 2,158 times 10^-6 times 24,28 approx 5,23 times 10^-5 , Np/m são:
beta = 31416 times raiz2,0 times 10^-6 times 5,56 times 10^-12 = 31416 times raiz1,112 times 10^-17 approx 31416 times 1,054 times 10^-8 approx 0,000331 , rad/m
Primeiro, já temos e .
Vamos calcular :
Primeiro simplificamos:
Agora, calculamos :

Passo 4

Vamos determinar a velocidade de propagação ( vp = omegabeta ) das ondas na linha. A velocidade de propagação está ligada à constante de fase ( vp = 314160,000331 approx 9,49 times 10^7 , m/s ) pela fórmula:
beta = omega raizLC = 31416 times raiz2,0 times 10^-6 times 5,56 times 10^-12 = 31416 times raiz1,112 times 10^-17 approx 31416 times 1,054 times 10^-8 approx 0,000331 , rad/m
Substituindo os valores que já calculamos:
vp = 314160,000331 approx 9,49 times 10^7 , m/s
Isso parece muito alto, o que indica que talvez tenhamos cometido um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar rapidamente:
Na fórmula para L = 2,0 , mu H/m = 2,0 times 10^-6 , H/m :
C = 5,56 , pF/m = 5,56 times 10^-12 , F/m
Agora, a velocidade:
beta = omega raizLC = 31416 times raiz2,0 times 10^-6 times 5,56 times 10^-12 = 31416 times raiz1,112 times 10^-17 approx 31416 times 1,054 times 10^-8 approx 0,000331 , rad/m
Esse valor ainda está muito alto. Pode ser que a capacitância dada esteja em vp = omegabeta = 314160,000331 approx 9,49 times 10^7 , m/s e a indutância em beta = raizomega^2 LC approx omega raizLC = 31416 times raiz2,0 times 10^-6 times 5,56 times 10^-12 = 31416 times raiz1,112 times 10^-17 approx 31416 times 1,054 times 10^-8 approx 0,000331 , rad/m . Vamos revisar as unidades:
vp approx 9,49 times 10^7 , m/s
Portanto:
A velocidade de propagação correta é:
Esse valor ainda está muito acima da velocidade da luz ( ), o que sugere que há algo errado. Vamos recalcular :
Aparentemente, os cálculos estão corretos, mas o valor de está muito pequeno, resultando em uma velocidade muito alta. Isso pode ocorrer se a capacitância ou a indutância estiverem com valores atípicos para uma linha de transmissão típica. No entanto, seguindo os dados fornecidos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento de onda ( lambda = vpf ). A relação entre comprimento de onda, velocidade de propagação e frequência é dada por:
lambda = 9,49 times 10^75000 approx 18980 , m
Substituindo os valores:

Resposta

  • Impedância característica ( ): aproximadamente
  • Constante de propagação ( ):
    • Constante de atenuação ( ):
    • Constante de fase ( ):
  • Velocidade de propagação ( ): aproximadamente
  • Comprimento de onda ( ): aproximadamente

Exercícios relacionados

Um guia de onda de 2 cm por 3 cm é preenchido com um material dielétrico, com varepsilonr=4. Se o guia opera a 20 GHz no modo TM11, determine:
a) a frequência de corte.
b) a constante de fase.
c) a velocidade de fase.
Calcule os seguintes limites, se existirem, caso algum não exista justifique.
(b) lim x 2 12-1xx-2
Os parâmetros de certa linha de transmissão, operando em omega= 6 times^8 rad / s, são: L=0,35 mu H / m, C=40 pF / m, G=75 mu S / m e R= 17 Omega / m. Calcule a constante de propagação na linha (gamma ), o coeficiente de atenuação (alpha), coeficiente de defasamento ( beta ), comprimento de onda (lambda) e a impedância característica expressa pelos parâmetros da linha.
Para uma linha de transmissão com perdas, a impedância característica da linha não depende:
(a) da frequência de operação da linha.
(b) do comprimento da linha.
© da carga que termina a linha.
(d) da condutividade dos condutores.
(e) da condutividade do dielétrico que separa os condutores.