• i(t) = dq(t) / dt;
  • L = Indutância;
  • R = Resistência;
  • E = Voltagem;
  • C = Capacitância.
    Considere também a equação diferencial
L di/dt + R i = E
Assim, uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 Henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i(t), se a corrente inicial é zero, ou seja, i(0) = 0.

Passo 1

Vamos resolver um problema de circuito elétrico envolvendo uma bateria de 12 volts conectada a um circuito em série com uma indutância de 1/2 Henry e uma resistência de 10 ohms. Nosso objetivo é determinar a corrente i(t) no circuito quando a corrente inicial é zero, ou seja, . Para isso, vamos utilizar conceitos de Circuitos Elétricos e Equações Diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada para o circuito RL:
Aqui:
  • L é a indutância,
  • R é a resistência,
  • E é a voltagem da bateria,
  • é a taxa de variação da corrente em relação ao tempo.

Passo 3

Substituímos os valores fornecidos na equação:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Dividimos todos os termos por 1/2 para simplificar.

Passo 5

Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando o fator integrante. A equação tem a forma:
Onde e .

Passo 6

Calculamos o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação ao tempo t:
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Calculamos a integral:

Passo 10

Isolamos i(t) dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:

Passo 12

Substituímos o valor de C na expressão de i(t):

Resposta

A corrente no circuito é dada por:

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