d^2y/dx^2 + y = 0 ; y(0) = -1, dy/dx(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais simples:
Onde é a segunda derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Para isso, assumimos que a solução tem a forma:
Onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
Aqui, é a unidade imaginária, onde .

Passo 6

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais e .
Primeiro, calculemos :
Portanto, .

Passo 8

Agora, calculamos a derivada :
Aplicando :
Então, .

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n^2(1-cos (1 / n^2))
  • i(t) = dq(t) / dt;
  • L = Indutância;
  • R = Resistência;
  • E = Voltagem;
  • C = Capacitância.
    Considere também a equação diferencial
L di/dt + R i = E
Assim, uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 Henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i(t), se a corrente inicial é zero, ou seja, i(0) = 0.
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sumn=1^infty ln (1+1n^4)