Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n^2(1-cos (1 / n^2))

Passo 1

Vamos lá! Temos que analisar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Precisamos entender um pouco sobre séries infinitas e os testes de convergência para decidir qual critério aplicar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Sabemos que para valores pequenos de cos(x) approx 1 - x^22 , a função cosseno pode ser aproximada por:
1 - cos(1n^2) approx 12n^4
Aqui, , que fica bem pequeno conforme cresce. Então, podemos aproximar:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na série original, temos:
n^2(1 - cos(1n^2)) approx n^2 cdot 12n^4 = 12n^2
Isso simplifica a série para algo mais fácil de comparar.

Passo 4

Agora, olhamos para a série comparativa . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se , e nesse caso, , ent��o a série converge.

Passo 5

Como nossa série original se comporta de maneira similar à série para grandes valores de , podemos concluir pelo Critério da Comparação que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

  • i(t) = dq(t) / dt;
  • L = Indutância;
  • R = Resistência;
  • E = Voltagem;
  • C = Capacitância.
    Considere também a equação diferencial
L di/dt + R i = E
Assim, uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 Henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i(t), se a corrente inicial é zero, ou seja, i(0) = 0.
Usando a continuidade e o 1^o Limite Fundamental do Cálculo, encontre:
c) lim x 0 sen(8 x)sen(9 x)
d^2y/dx^2 + y = 0 ; y(0) = -1, dy/dx(0) = 1
Considere o seguinte campo vetorial, f(x, y) = < 3 x^2 y, -2 x y^3 >. Encontre rot f(x, y).