Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sinal dado por e precisamos descobrir se esse sinal é periódico. Se for, vamos encontrar o período e identificar as harmônicas presentes na sua série. Para isso, vamos usar conhecimentos de sinais periódicos e séries de Fourier.
Passo 2
Vamos expandir o sinal usando a identidade
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo usando identidades trigonométricas:
- Para , usamos .
- Para , usamos .
Aplicando isso:
Passo 4
Juntando tudo, o sinal expandido fica:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Agora, vamos verificar se o sinal resultante é periódico. Um sinal é periódico se todos os seus componentes têm períodos que são múltiplos racionais entre si.
Os termos em cosseno têm frequências 3, 4, 7 e 10. Vamos encontrar o período comum:
Como todos os períodos individuais são múltiplos de
, o sinal é periódico com período
.
Passo 6
Finalmente, identificamos as harmônicas presentes na série. As frequências são múltiplos da frequência fundamental (
):
Resposta
O sinal é periódico com período
. As harmônicas presentes na sua série são a 3ª, 4ª, 7ª e 10ª harmônicas.