Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série. (3 sen(2 t) + sen(5 t))^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sinal dado por e precisamos descobrir se esse sinal é periódico. Se for, vamos encontrar o período e identificar as harmônicas presentes na sua série. Para isso, vamos usar conhecimentos de sinais periódicos e séries de Fourier.

Passo 2

Vamos expandir o sinal usando a identidade . Assim:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo usando identidades trigonométricas:
  • Para , usamos .
  • Para , usamos .
Aplicando isso:

Passo 4

Juntando tudo, o sinal expandido fica:
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Agora, vamos verificar se o sinal resultante é periódico. Um sinal é periódico se todos os seus componentes têm períodos que são múltiplos racionais entre si.
Os termos em cosseno têm frequências 3, 4, 7 e 10. Vamos encontrar o período comum:
Como todos os períodos individuais são múltiplos de , o sinal é periódico com período .

Passo 6

Finalmente, identificamos as harmônicas presentes na série. As frequências são múltiplos da frequência fundamental ( ):
ªô
ªô
ªô
ªô

Resposta

O sinal é periódico com período . As harmônicas presentes na sua série são a 3ª, 4ª, 7ª e 10ª harmônicas.

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