Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente dizer se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, precisamos encontrar o período e identificar quais harmônicas estão presentes na série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de periodicidade de sinais e séries harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sinal ser periódico. Um sinal é periódico se ele se repete depois de um certo intervalo de tempo, chamado de período
. No nosso caso, temos três termos no sinal: uma constante
, um seno e um cosseno
.
Passo 3
A constante
é um DC (corrente contínua) e não afeta a periodicidade do sinal. Então, vamos focar nos termos periódicos: e
. Cada um desses termos tem seu próprio período.
Passo 4
Vamos calcular o período de cada termo. Para uma função do tipo ou
, o período
é dado por:
Então, para :
E para
:
Passo 5
Agora, para o sinal todo ser periódico, precisamos encontrar um período comum que seja múltiplo dos períodos individuais
e
. Isso significa que precisamos achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre
e
.
Passo 6
Para encontrar o MMC, podemos observar que:
Mas precisamos que o MMC seja um múltiplo inteiro de ambos os períodos. Como
e
têm uma relação racional (7/4), o MMC será:
Esse é o menor período que é múltiplo de ambos os períodos individuais.
Passo 7
Agora que encontramos o período
, vamos identificar as harmônicas presentes na série. A frequência fundamental
é dada por:
As frequências dos termos são
rad/s e
rad/s. Dividindo cada frequência pela fundamental, temos:
Então, as harmônicas presentes são a 4ª e a 7ª.
Resposta
O sinal é periódico com período
e possui as harmônicas de ordem 4 e 7 na sua série.