Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série. 2 + 5 sen(4 t) + 4 cos(7 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente dizer se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, precisamos encontrar o período e identificar quais harmônicas estão presentes na série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de periodicidade de sinais e séries harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sinal ser periódico. Um sinal é periódico se ele se repete depois de um certo intervalo de tempo, chamado de período . No nosso caso, temos três termos no sinal: uma constante , um seno e um cosseno .

Passo 3

A constante é um DC (corrente contínua) e não afeta a periodicidade do sinal. Então, vamos focar nos termos periódicos: e . Cada um desses termos tem seu próprio período.

Passo 4

Vamos calcular o período de cada termo. Para uma função do tipo ou , o período é dado por:
Então, para :
E para :

Passo 5

Agora, para o sinal todo ser periódico, precisamos encontrar um período comum que seja múltiplo dos períodos individuais e . Isso significa que precisamos achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre e .

Passo 6

Para encontrar o MMC, podemos observar que:
Mas precisamos que o MMC seja um múltiplo inteiro de ambos os períodos. Como e têm uma relação racional (7/4), o MMC será:
Esse é o menor período que é múltiplo de ambos os períodos individuais.

Passo 7

Agora que encontramos o período , vamos identificar as harmônicas presentes na série. A frequência fundamental é dada por:
As frequências dos termos são rad/s e rad/s. Dividindo cada frequência pela fundamental, temos:
Então, as harmônicas presentes são a 4ª e a 7ª.

Resposta

O sinal é periódico com período e possui as harmônicas de ordem 4 e 7 na sua série.

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