Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série. sen(5 t/2) + 3 cos(6 t/5) + 3 sen(t/7 + 30 graus)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que manda a questão. A gente tem um sinal que é a soma de três funções trigonométricas:
A pergunta é: esse sinal é periódico ou não? Se for periódico, qual é o período e quais harmônicas estão presentes na série? Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre sinais periódicos, períodos e harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um sinal ser periódico. Um sinal é periódico se ele se repete após um intervalo de tempo constante, chamado de período . Ou seja, para todo :
Agora, cada uma das funções que compõem o sinal tem seu próprio período. Vamos calcular o período de cada termo.

Passo 3

Para funções trigonométricas da forma ou , o período é dado por:
Vamos aplicar isso para cada termo:
  1. Primeiro termo:
    Aqui, , então:
  2. Segundo termo:
    Aqui, , então:
  3. Terceiro termo:
    A constante é apenas um deslocamento de fase e não afeta o período. Aqui, , então:

Passo 4

Agora que temos os períodos individuais, precisamos verificar se existe um período comum para todo o sinal. Isso acontece se os períodos individuais forem múltiplos inteiros uns dos outros, ou seja, se a razão entre eles for um número racional.
Vamos encontrar o menor múltiplo comum (MMC) dos períodos , e :
Para encontrar o MMC, primeiro encontramos os múltiplos de cada período até encontrar um comum:
  • Múltiplos de :
  • M��ltiplos de :
  • Múltiplos de :
Observando os múltiplos, vemos que não há um múltiplo comum entre , e . Portanto, não existe um período comum para todo o sinal.

Passo 5

Como não existe um período comum para os três termos, concluímos que o sinal completo não é periódico. Mesmo que alguns termos individuais sejam periódicos, a soma deles não será periódica se seus períodos não tiverem um múltiplo comum.

Resposta

O sinal não é periódico, pois não existe um período comum entre os seus componentes.

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