Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que manda a questão. A gente tem um sinal que é a soma de três funções trigonométricas:
A pergunta é: esse sinal é periódico ou não? Se for periódico, qual é o período e quais harmônicas estão presentes na série? Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre sinais periódicos, períodos e harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um sinal ser periódico. Um sinal é periódico se ele se repete após um intervalo de tempo constante, chamado de período
. Ou seja, para todo
:
Agora, cada uma das funções que compõem o sinal tem seu próprio período. Vamos calcular o período de cada termo.
Passo 3
Para funções trigonométricas da forma
ou
, o período
é dado por:
Vamos aplicar isso para cada termo:
-
Primeiro termo:Aqui,
, então: -
Segundo termo:Aqui,
, então: -
Terceiro termo:A constante
é apenas um deslocamento de fase e não afeta o período. Aqui, , então:
Passo 4
Agora que temos os períodos individuais, precisamos verificar se existe um período comum para todo o sinal. Isso acontece se os períodos individuais forem múltiplos inteiros uns dos outros, ou seja, se a razão entre eles for um número racional.
Vamos encontrar o menor múltiplo comum (MMC) dos períodos
,
e
:
Para encontrar o MMC, primeiro encontramos os múltiplos de cada período até encontrar um comum:
- Múltiplos de
: - M��ltiplos de
: - Múltiplos de
:
Observando os múltiplos, vemos que não há um múltiplo comum entre
,
e
. Portanto, não existe um período comum para todo o sinal.
Passo 5
Como não existe um período comum para os três termos, concluímos que o sinal completo não é periódico. Mesmo que alguns termos individuais sejam periódicos, a soma deles não será periódica se seus períodos não tiverem um múltiplo comum.
Resposta
O sinal
não é periódico, pois não existe um período comum entre os seus componentes.