Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, temos que achar o período e dizer quais harmônicas estão presentes na série desse sinal. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sinais periódicos, períodos de funções trigonométricas e séries de Fourier para identificar as harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o sinal dado. Temos . Vamos calcular isso passo a passo:
Agora, precisamos simplificar .
Passo 3
Para simplificar , usamos uma identidade trigonométrica que expressa o seno ao cubo em termos de múltiplos de ângulos. A identidade é:
Aplicando essa identidade a :
Passo 4
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
Agora que temos o sinal simplificado, vamos analisar sua periodicidade. Um sinal é periódico se ele se repete a intervalos regulares de tempo, ou seja, se existe um período
tal que:
No nosso caso, temos dois termos: e . Vamos encontrar o período de cada um.
Passo 6
O período de é dado por:
Para ,
, então:
Para ,
, então:
Passo 7
Para o sinal composto ser periódico, os períodos
e
devem ter um múltiplo comum. Vamos verificar:
O menor múltiplo comum de
e
é
. Então, o período do sinal composto é
.
Passo 8
Agora, vamos identificar as harmônicas presentes na série. As harmônicas são múltiplos da frequência fundamental. A frequência fundamental é aquela correspondente ao período
.
A frequência fundamental
é:
Observando os termos do nosso sinal:
- corresponde à primeira harmônica (
) - corresponde à terceira harmônica (
)
Resposta
O sinal é periódico com período
e contém as harmônicas de ordem 1 e 3 na sua série.