Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série. (5 sen(2 t))^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, temos que achar o período e dizer quais harmônicas estão presentes na série desse sinal. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sinais periódicos, períodos de funções trigonométricas e séries de Fourier para identificar as harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o sinal dado. Temos . Vamos calcular isso passo a passo:
Agora, precisamos simplificar .

Passo 3

Para simplificar , usamos uma identidade trigonométrica que expressa o seno ao cubo em termos de múltiplos de ângulos. A identidade é:
Aplicando essa identidade a :

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão original:
Simplificando ainda mais:

Passo 5

Agora que temos o sinal simplificado, vamos analisar sua periodicidade. Um sinal é periódico se ele se repete a intervalos regulares de tempo, ou seja, se existe um período tal que:
No nosso caso, temos dois termos: e . Vamos encontrar o período de cada um.

Passo 6

O período de é dado por:
Para , , então:
Para , , então:

Passo 7

Para o sinal composto ser periódico, os períodos e devem ter um múltiplo comum. Vamos verificar:
O menor múltiplo comum de e é . Então, o período do sinal composto é .

Passo 8

Agora, vamos identificar as harmônicas presentes na série. As harmônicas são múltiplos da frequência fundamental. A frequência fundamental é aquela correspondente ao período .
A frequência fundamental é:
Observando os termos do nosso sinal:
  • corresponde à primeira harmônica ( )
  • corresponde à terceira harmônica ( )

Resposta

O sinal é periódico com período e contém as harmônicas de ordem 1 e 3 na sua série.

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