Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série. sen( 3t ) + cos( 15/4 t )

Passo 1

Vamos analisar o sinal dado: . Nosso objetivo é verificar se esse sinal é periódico. Se for, determinaremos o período e identificaremos as harmônicas presentes na sua série. Para isso, precisamos entender o que torna um sinal periódico e como identificar suas frequências componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um sinal é periódico se ele se repete a intervalos regulares no tempo. No caso de sinais compostos por funções como seno e cosseno, o sinal será periódico se as frequências das funções componentes tiverem uma razão que seja um número racional.
Aqui, temos duas componentes:
  1. com frequência angular rad/s.
  2. com frequência angular rad/s.

Passo 3

Para determinar se o sinal composto é periódico, precisamos verificar se a razão entre as duas frequências angulares é um número racional. Calculamos essa razão:
Como 4/5 é um número racional, isso significa que as duas frequências são proporcionais por um fator racional, e portanto, o sinal composto será periódico.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o menor período comum T para as duas componentes. O período de uma função seno ou cosseno é dado por:
onde omega é a frequência angular.
Calculando os períodos individuais:
  1. Para :
  1. Para :
O menor período comum T é o mínimo múltiplo comum (MMC) de e . Para encontrar o MMC de e , buscamos o menor múltiplo que seja múltiplo de ambos os períodos.
Convertendo para uma forma com denominadores comuns:
O MMC de e é , então:

Passo 5

Finalmente, identificamos as harmônicas presentes na série. As harmônicas são múltiplos inteiros da frequência fundamental. A frequência fundamental pode ser encontrada a partir do período T:
Agora, verificamos as frequências das componentes em relação à fundamental:
  1. Para :
ªô
  1. Para :
ªô

Resposta

O sinal é periódico. Seu período é segundos, e as harmônicas presentes na série são a 4ª e a 5ª harmônicas.

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