Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série.
Passo 1
Vamos analisar o sinal dado:
. Nosso objetivo é verificar se esse sinal é periódico. Se for, determinaremos o período e identificaremos as harmônicas presentes na sua série. Para isso, precisamos entender o que torna um sinal periódico e como identificar suas frequências componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um sinal é periódico se ele se repete a intervalos regulares no tempo. No caso de sinais compostos por funções como seno e cosseno, o sinal será periódico se as frequências das funções componentes tiverem uma razão que seja um número racional.
Aqui, temos duas componentes:
-
com frequência angular rad/s. -
com frequência angular rad/s.
Passo 3
Para determinar se o sinal composto é periódico, precisamos verificar se a razão entre as duas frequências angulares é um número racional. Calculamos essa razão:
Como
é um número racional, isso significa que as duas frequências são proporcionais por um fator racional, e portanto, o sinal composto será periódico.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o menor período comum
para as duas componentes. O período de uma função seno ou cosseno é dado por:
onde
é a frequência angular.
Calculando os períodos individuais:
- Para
:
- Para
:
O menor período comum
é o mínimo múltiplo comum (MMC) de
e
. Para encontrar o MMC de
e
, buscamos o menor múltiplo que seja múltiplo de ambos os períodos.
Convertendo para uma forma com denominadores comuns:
O MMC de
e
é
, então:
Passo 5
Finalmente, identificamos as harmônicas presentes na série. As harmônicas são múltiplos inteiros da frequência fundamental. A frequência fundamental
pode ser encontrada a partir do período
:
Agora, verificamos as frequências das componentes em relação à fundamental:
- Para
:
- Para
:
Resposta
O sinal
é periódico. Seu período é
segundos, e as harmônicas presentes na série são a 4ª e a 5ª harmônicas.