Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
sen(pi / 25)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma aproximação de usando o polinômio de Taylor de segunda ordem. Isso significa que vamos usar uma fórmula que aproxima a função seno por um polinômio quadrático. Para resolver isso, precisamos conhecer a expansão em série de Taylor da função seno e saber como aplicá-la para uma aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor para a função em torno de (isso também é chamado de série de Maclaurin). A série completa é infinita, mas como estamos usando apenas o polinômio de segunda ordem, vamos pegar os primeiros termos até o :
Aqui, é o ângulo em radianos, e a expressão é o termo de erro que estamos ignorando por agora.

Passo 3

Agora, vamos substituir por na fórmula acima para obter a aproximação:
Vamos calcular cada parte:
Então, a aproximação fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o erro dessa aproximação. O erro em usar o polinômio de Taylor de segunda ordem para é dado pelo próximo termo da série, que seria o termo . Vamos calcular esse termo para :
Isso significa que a nossa aproximação tem um erro de aproximadamente , ou seja, é muito pequena!

Resposta

Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, a aproximação de é aproximadamente com um erro estimado de cerca de .

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