Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma aproximação de
usando o polinômio de Taylor de segunda ordem. Isso significa que vamos usar uma fórmula que aproxima a função seno por um polinômio quadrático. Para resolver isso, precisamos conhecer a expansão em série de Taylor da função seno e saber como aplicá-la para uma aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor para a função
em torno de
(isso também é chamado de série de Maclaurin). A série completa é infinita, mas como estamos usando apenas o polinômio de segunda ordem, vamos pegar os primeiros termos até o
:
Aqui,
é o ângulo em radianos, e a expressão
é o termo de erro que estamos ignorando por agora.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na fórmula acima para obter a aproximação:
Vamos calcular cada parte:
Então, a aproximação fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o erro dessa aproximação. O erro em usar o polinômio de Taylor de segunda ordem para
é dado pelo próximo termo da série, que seria o termo
. Vamos calcular esse termo para
:
Isso significa que a nossa aproximação tem um erro de aproximadamente
, ou seja, é muito pequena!
Resposta
Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, a aproximação de
é aproximadamente
com um erro estimado de cerca de
.