Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o polinômio de Taylor de ordem 2 para aproximar o valor de
e também avaliar o erro dessa aproximação. Primeiro, vamos entender que o polinômio de Taylor é uma ferramenta matemática que nos ajuda a aproximar funções complicadas usando polinômios mais simples. Para isso, precisamos conhecer a função, suas derivadas até a ordem desejada e escolher um ponto de expansão próximo ao valor que queremos calcular.
Passo 2
Vamos escolher o ponto de expansão
porque
, e isso facilita nossos cálculos. Além disso,
está bem pertinho de
, então a aproximação deve ficar bem legal.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função
em torno de
. Isso significa que vamos considerar os termos até a segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Agora, avaliamos essas derivadas em
:
Com isso, o polinômio de Taylor de ordem 2 fica:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agora usar esse polinômio para aproximar
. Substituímos
na expressão de
:
Calculando as diferenças:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o erro dessa aproximação. O erro do polinômio de Taylor de ordem 2 é dado pelo termo da terceira derivada da função avaliada em algum ponto entre
e
, multiplicado por
.
Para
:
- Terceira derivada:
O valor máximo dessa derivada no intervalo
é quando
, então:
Logo, o erro absoluto é:
Resposta
Aproximação de
usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é
e o erro absoluto é, no máximo, aproximadamente
.