Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
ln(1.2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o polinômio de Taylor de ordem 2 para aproximar o valor de e também avaliar o erro dessa aproximação. Primeiro, vamos entender que o polinômio de Taylor é uma ferramenta matemática que nos ajuda a aproximar funções complicadas usando polinômios mais simples. Para isso, precisamos conhecer a função, suas derivadas até a ordem desejada e escolher um ponto de expansão próximo ao valor que queremos calcular.

Passo 2

Vamos escolher o ponto de expansão porque , e isso facilita nossos cálculos. Além disso, está bem pertinho de 1, então a aproximação deve ficar bem legal.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno de . Isso significa que vamos considerar os termos até a segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
Agora, avaliamos essas derivadas em x = 1:
Com isso, o polinômio de Taylor de ordem 2 fica:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agora usar esse polinômio para aproximar . Substituímos na expressão de :
Calculando as diferenças:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o erro dessa aproximação. O erro do polinômio de Taylor de ordem 2 é dado pelo termo da terceira derivada da função avaliada em algum ponto entre 1 e , multiplicado por .
Para :
  • Terceira derivada:
O valor máximo dessa derivada no intervalo é quando x = 1, então:
Logo, o erro absoluto é:

Resposta

Aproximação de usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é e o erro absoluto é, no máximo, aproximadamente .

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