Inicialmente um disco roda uniformemente com frequência de 2 s^-1. Ele, então, passa a rodar com aceleração angular de -pi^2 rad / s^2 até que sua frequência diminua pela metade. Qual o deslocamento angular total realizado durante o intervalo total de rotação não uniforme?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco que inicialmente está girando de forma uniforme com uma frequência de . Depois, ele começa a desacelerar com uma aceleração angular de até que sua frequência diminua pela metade. Nosso objetivo é descobrir qual foi o deslocamento angular total durante esse período de rotação não uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa frequência de rotação. A frequência omega = 2pi f indica quantas rotações completas o disco faz por segundo. Para trabalhar com as fórmulas de física, a gente geralmente usa a velocidade angular , que está relacionada com a frequência pela equação:
Então, vamos calcular a velocidade angular inicial e a final.

Passo 3

A frequência inicial é omegai = 2pi times 2 = 4pi, rad/s . Usando a fórmula acima:
omegaf = 2pi times 1 = 2pi, rad/s
A frequência final é metade da inicial, ou seja, :

Passo 4

Agora, sabemos que o disco está desacelerando com uma aceleração angular omegaf^2 = omegai^2 + 2alphatheta . Queremos encontrar o deslocamento angular durante essa desaceleração. Para isso, usamos a seguinte equação de movimento angular:
Vamos isolar nessa equação.

Passo 5

Rearranjando a fórmula para encontrar theta = omegaf^2 - omegai^22alpha :
theta = (2pi)^2 - (4pi)^22 times (-pi^2)
Agora, substituímos os valores que já calculamos:

Passo 6

Vamos simplificar os cálculos:
(2pi)^2 = 4pi^2
(4pi)^2 = 16pi^2
Substituindo de volta:
theta = 4pi^2 - 16pi^2-2pi^2 = -12pi^2-2pi^2 = 6, rad

Resposta

O deslocamento angular total realizado durante o intervalo de rotação não uniforme é de .

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