Duas polias estão acopladas por uma correia inextensível e que não desliza. A polia 1 possui raio R1, velocidade angular omega1 e aceleração angular alpha1.
a) Verifique quais são a velocidade angular e a aceleração angular da polia 2, a qual possui raio R2.
b) A polia 1 possui um raio de 0,1 m, aceleração angular de 10 pi rad cdot s^-2 e frequência angular inicial de 50 rev cdot s^-1. Já a polia 2 possui raio de 0,5 m. Qual o intervalo de tempo até que a polia 2 atinja uma velocidade angular igual a velocidade angular inicial da polia 1 ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas polias conectadas por uma correia que não estica nem desliza. A polia 1 tem raio R1, velocidade angular omega1 e aceleração angular alpha1. Precisamos encontrar a velocidade angular e a aceleração angular da polia 2, que tem raio R2. Além disso, no item b), precisamos calcular o tempo necessário para que a polia 2 atinja uma velocidade angular igual à velocidade angular inicial da polia 1, dado alguns valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma correia que não desliza entre as polias garante que a velocidade tangencial nas duas polias seja a mesma. A velocidade tangencial v de uma polia é dada por:
v = R cdot omega
Onde:
  • R é o raio da polia
  • omega é a velocidade angular

Passo 3

Como a correia não desliza, a velocidade tangencial da polia 1 é igual à da polia 2:
R1 cdot omega1 = R2 cdot omega2
Queremos encontrar omega2, então isolamos:
omega2 = R1R2 cdot omega1

Passo 4

Agora, vamos considerar as acelerações angulares. A aceleração tangencial a está relacionada à aceleração angular alpha pela fórmula:
a = R cdot alpha
Novamente, como a correia não desliza, as acelerações tangenciais das polias são iguais:
R1 cdot alpha1 = R2 cdot alpha2
Isolando alpha2:
alpha2 = R1R2 cdot alpha1

Passo 5

Agora, vamos passar para o item b). Temos:
  • R1 = 0,1 , m
  • alpha1 = 10pi , rad/s^2
  • Frequência angular inicial da polia 1: 50 , rev/s
  • R2 = 0,5 , m
Primeiro, vamos converter a frequência angular inicial de revoluções por segundo para radianos por segundo:
omega1inicial = 50 , rev/s times 2pi , rad/rev = 100pi , rad/s

Passo 6

Queremos que a polia 2 atinja essa mesma velocidade angular. Usando a relação que encontramos no Passo 3:
omega2 = R1R2 cdot omega1
Substituindo os valores:
100pi = 0,10,5 cdot omega1
100pi = 0,2 cdot omega1
omega1 = 100pi0,2 = 500pi , rad/s

Passo 7

Sabemos que a aceleração angular da polia 1 é constante ( alpha1 = 10pi , rad/s^2). A velocidade angular da polia 1 varia com o tempo como:
omega1(t) = omega1inicial + alpha1 cdot t
Queremos que omega1(t) = 500pi , rad/s:
500pi = 100pi + 10pi cdot t
Subtraindo 100pi de ambos os lados:
400pi = 10pi cdot t
Dividindo ambos os lados por 10pi:
t = 40 , segundos

Resposta

a) A velocidade angular da polia 2 é omega2 = dfracR1R2 cdot omega1 e a aceleração angular é alpha2 = dfracR1R2 cdot alpha1.
b) O intervalo de tempo necessário para que a polia 2 atinja uma velocidade angular igual à inicial da polia 1 é de 40 segundos.

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