Considere um corpo rígido rodando em torno do eixo com velocidade angular . Calcule o vetor aceleração do ponto do corpo rígido com coordenada , quando:
a) A velocidade angular é constante.
b) A velocidade angular é dada por , onde é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um corpo rígido girando em torno do eixo y com uma velocidade angular, que pode ser constante ou variar com o tempo. Precisamos calcular o vetor aceleração de um ponto específico desse corpo, que está na posição (1, 2, 3). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração centrípeta e aceleração tangencial. Vamos precisar entender como a velocidade angular afeta a aceleração de um ponto em rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte a), onde a velocidade angular ω é constante. Quando a velocidade angular é constante, a aceleração angular (α) é zero.
A aceleração total de um ponto em rotação é a soma da aceleração centrípeta (a_c) e da aceleração tangencial (a_t).
A aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória circular e é calculada por:
onde é o vetor posição do ponto em relação ao eixo de rotação.
Como ω é constante, não há aceleração tangencial:
Portanto, a aceleração total é apenas a aceleração centrípeta:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), onde a velocidade angular é dada por , com c sendo uma constante. Aqui, a velocidade angular está aumentando com o tempo, o que significa que há uma aceleração angular não nula.
Primeiro, calculamos a aceleração angular (α):
Agora, a aceleração total do ponto é a soma da aceleração centrípeta e da aceleração tangencial:
A aceleração centrípeta continua sendo:
E a aceleração tangencial agora existe e é dada por:
Então, juntando as duas:
Resposta
a) Quando a velocidade angular é constante, o vetor aceleração do ponto (1, 2, 3) é:
b) Quando a velocidade angular é , o vetor aceleração do ponto (1, 2, 3) é: