Considere um corpo rígido rodando em torno do eixo y com velocidade angular omega. Calcule o vetor aceleração do ponto do corpo rígido com coordenada (1,2,3), quando:
a) A velocidade angular é constante.
b) A velocidade angular é dada por c t, onde c é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um corpo rígido girando em torno do eixo y com uma velocidade angular, que pode ser constante ou variar com o tempo. Precisamos calcular o vetor aceleração de um ponto específico desse corpo, que está na posição (1, 2, 3). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração centrípeta e aceleração tangencial. Vamos precisar entender como a velocidade angular afeta a aceleração de um ponto em rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte a), onde a velocidade angular ω é constante. Quando a velocidade angular é constante, a aceleração angular (α) é zero.
A aceleração total de um ponto em rotação é a soma da aceleração centrípeta (a_c) e da aceleração tangencial (a_t).
A aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória circular e é calculada por:
ac = -omega^2 r
onde at = alpha times r = 0 é o vetor posição do ponto em relação ao eixo de rotação.
Como ω é constante, não há aceleração tangencial:
a = ac = -omega^2 r
Portanto, a aceleração total é apenas a aceleração centrípeta:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), onde a velocidade angular é dada por alpha = domegadt = c , com c sendo uma constante. Aqui, a velocidade angular está aumentando com o tempo, o que significa que há uma aceleração angular não nula.
Primeiro, calculamos a aceleração angular (α):
a = ac + at
Agora, a aceleração total do ponto ac = -omega^2 r = -(c t)^2 r = -c^2 t^2 r é a soma da aceleração centrípeta e da aceleração tangencial:
at = alpha times r = c times r
A aceleração centrípeta continua sendo:
a = ac + at = -c^2 t^2 r + c r = (c - c^2 t^2) r
E a aceleração tangencial agora existe e é dada por:
Então, juntando as duas:

Resposta

a) Quando a velocidade angular é constante, o vetor aceleração do ponto (1, 2, 3) é:
a = -omega^2 1 2 3
b) Quando a velocidade angular é a = ( c - c^2 t^2 ) 1 2 3 , o vetor aceleração do ponto (1, 2, 3) é:

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